Что значит "скалярное поле"

область, в каждой точке P которой задан скаляр ?(P). К понятию скалярного поля приводят многие физические явления (напр., температуры точек неравномерно нагретой пластинки образуют скалярное поле).

область, с каждой точкой Р которой связано некоторое число (скаляр) а (Р). Математически С, п. может быть определено в данной области G заданием скалярной функции а (Р) переменной точки Р этой области. Примеры С. и,: поле температуры внутри тела, поле плотности. Основным математическим аппаратом при изучении С. п. является векторное исчисление .

Если каждой точке M заданной области пространства (чаще всего размерности 2 или 3) поставлено в соответствие некоторое (обычно — действительное ) число u, то говорят, что в этой области задано скалярное поле. Другими словами, скалярное поле — это функция , отображающая $\R^n$ в $\R$ (скалярная функция точки пространства).

Чаще других в приложениях встречаются:

• Функция трёх переменных: u = u(r) = u(x, y, z) .
• Функция двух переменных: u = u(r) = u(x, y) .
• В физике и многих других приложениях поле, вообще говоря, зависит также от времени:

u = u(x, y, z, t), при этом операции над полем (такие, как градиент ) используются по-прежнему 3-мерные, то есть, несмотря на добавление еще одной независимой переменной, по существу при этом поле рассматривается как поле в пространстве размерности 3, а не 4. Те же соображения касаются случаев, когда поле зависит, кроме пространственных координат, ещё от каких-то других параметров: эти параметры могут быть явно указаны в функциональной зависимости, что, однако, не меняет размерности основного пространства, в котором рассматривается поле.

• В современной теоретической физике принято явным образом рассматривать время как координату, формально равноправную трем пространственным, а совокупность пространства и времени рассматривается явно как единое четырехмерное пространство (называемое пространством-временем ). Таким образом, говоря о скалярном поле в современной теоретической физике, по умолчанию подразумевают поле на четырехмерном пространстве или многообразии , т. е. функцию, зависимую от четырех формально равноправных координат:

u = u(x) = u(x, x, x, x) (одна из этих четырех координат x равна или пропорциональна времени), более того, при этом, если используют термин скалярное поле, еще и подразумевается, что u - лоренц-инвариантно . Все операции над полем при этом используются в их четырехмерном виде.

Обычно от скалярной функции требуется непрерывность или дифференцируемость достаточное количество раз (то есть функция должна принадлежать $\C^m$).

Примеры скалярных полей на трёхмерном пространстве:

• температура ;
• электростатический потенциал ;
• потенциал в ньютоновской теории тяготения ;
• поле давления в жидкой среде.

Примеры плоских скалярных полей:

• глубина моря, отмеченная каким-либо образом на плоской карте;
• плотность заряда на плоской поверхности проводника.
• Обычно под скалярным полем понимается поле, инвариантное при преобразованиях координат . (См. скаляр ).
  • В этом смысле далеко не каждая вещественнозначная функция координат является скалярным полем. Простейший пример: в этом смысле не является скалярным полем одна из координатных компонент векторного поля , так как при изменении выбора координат .
• Под скалярным полем в современной теоретической физике понимается обычно фундаментальное поле скаляра пространства Минковского ( лоренц-инвариантное поле) или поле, инвариантное относительно общекоординатных преобразований, .
  • Практическими синонимами термина скалярное поле в этом смысле являются термины поле спина ноль, частица спина ноль, скалярная частица .
  • Экспериментально не открыто ни одно фундаментальное скалярное поле. Однако такие поля играют немалую роль в теоретических построениях (существуют важные гипотетические скалярные поля, например, поле Хиггса ), а также их наличие (наряду с векторными и тензорными полями , понимаемыми в том же смысле и наблюдаемыми реально) необходимо для полноты классификации фундаментальных полей.
• В новых физических теориях (таких, как например теория струн ) часто имеют дело с пространствами и многообразиями разной размерности, в том числе и достаточно высокой , и полями, в том числе скалярными полями, на таких пространствах.