Что значит "периодическая функция"

функция, значения которой не изменяются при прибавлении к аргументу некоторого (отличного от нуля) числа, т.н. периода функции. Напр., sin х периодическая функция с периодом 2?, ибо sin (х + 2?) = sin x при любых х. Широко применяются в математике, физике и технике, особенно в изучении различных колебательных процессов.

функция, значение которой не изменяется при добавлении к аргументу определённого, неравного нулю числа, называемого периодом функции. Например, sin х и cos x: являются П. ф. с периодом 2p; {x} ≈ дробная часть числа х ≈ П. ф. с периодом 1; показательная функция ex (если х ≈ комплексное переменное) ≈ П. ф. с периодом 2pi и т.п. Так как сумма и разность двух периодов есть снова период и, следовательно, любое кратное периода есть также период, то каждая П. ф. имеет бесконечное множество периодов. Если П. ф. имеет действительный период, непрерывна и отлична от постоянной, то для неё существует наименьший положительный период Т; всякий другой действительный период той же функции будет иметь вид kT, где k = ╠1, ╠ 2,.... Сумма, произведение и частное П. ф. с одним и тем же периодом являются П. ф. с тем же периодом. Производная П. ф. есть П. ф. с тем же периодом, однако интеграл от П. ф. f (x) с периодом Т будет П. ф. (с тем же периодом) лишь в том случае, когда . Фундаментальная теорема теории П. ф. утверждает, что П. ф. f (x) с периодом Т [подчинённая ещё некоторым условиям, например непрерывная и имеющая в интервале (О, T) лишь конечное число максимумов и минимумов] может быть представлена суммой сходящегося тригонометрического ряда (ряда Фурье) вида: ; коэффициенты этого ряда выражаются через f (x) по формулам Эйлера ≈ Фурье (см. Тригонометрические ряды , Фурье коэффициенты ). Для непрерывной П. ф. комплексного переменного возможен случай, когда существуют два периода T1 и T2, отношение которых не есть действительное число: если функция отлична от постоянной, то всякий её период будет иметь вид k1T1 + k2T2, где k1 = 0,╠1, ╠2,... и k2 = 0, ╠1, ╠ 2,.... В этом случае П. ф. называется двоякопериодической функцией . Рассматриваются ещё двоякопериодические функции второго и третьего родов; под ними понимают функции, которые при добавлении периодов к аргументу приобретают, соответственно, постоянный или показательный множитель [то есть f (x + T

1. = a1f (x) и f (x + T

2. = a2f (x) или f (x + T1) = ═и f (x + T2) -= ea2x f (x)].

   Сумма П. ф. с разными периодами не будет периодической функцией в случае, когда периоды несоизмеримы [напр., cos х + cos) не есть П. ф.]; однако функции такого рода обладают многими свойствами, приближающими их к П. ф.; такие функции являются простейшими примерами так называемых почти периодических функций . П. ф. играют чрезвычайно большую роль в теории колебаний и вообще в математической физике.

Периоди́ческая фу́нкция ― функция , повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.

Говоря более формально, функция называется периодической с периодом T ≠ 0, если для каждой точки x из её области определения точки x + T и x − T также принадлежат её области определения, и для них выполняется равенство f(x) = f(x + T) = f(x − T).

Исходя из определения, для периодической функции справедливо также равенство f(x) = f(x + nT), где n — любое целое число.

Все тригонометрические функции являются периодическими.