Что значит "показательная функция"

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ (экспоненциальная функция) функция y = ex; обозначается иногда exp x; встречается в многочисленных приложениях математики. Рассматриваются также показательные функции ax при основаниях а > 0, а ? 1 [напр., 2х, (1/2)х и т.д.].

экспоненциальная функция, важная элементарная функция f (z) = ez, обозначается иногда expz; встречается в многочисленных приложениях математики к естествознанию и технике. Для любого значения z (действительного или комплексного) П. ф. определяется соотношением ; Очевидно, что e0= 1; при n = 1 значение П. ф. равно е ≈ основанию натуральных логарифмов. П. ф. обладает следующими основными свойствами: ═и при любых значениях z1 и z2, кроме того, на действительной оси (рис.) П. ф. ex> 0 и при n ╝ ¥ возрастает быстрее любой степени х, а при х ╝ - ¥ убывает быстрее любой степени 1/x: , , каков бы ни был показатель n. Функцией, обратной по отношению к П. ф., является логарифмическая функция : если w = ez, то z = lnw. Рассматривается также П. ф. az при основаниях а > 0, отличных от е [например, в школьном курсе математики для действительных значений z = х рассматриваются П. ф. 2x, (1/2) x и т.д.]. П. ф. azсвязана с П. ф. ez (основной) соотношением az = ezlna. П. ф. ex является целой трансцендентной функцией . Она допускает следующее разложение в степенной ряд: ,═══(

1. сходящийся во всей плоскости z. Равенство (1) также может служить определением П. ф.

   Полагая z = х + iy, Л. Эйлер получил (1748) формулу:

   ez= ex+iy = ex (cosy + isiny),═══(

2. связывающую П. ф. с тригонометрическими функциями . Из неё вытекают соотношения:

   .

   Функции

   ═ch y, ═= sh y

   называются гиперболическими функциями , обладают рядом свойств, сходных со свойствами тригонометрических функций, и играют наряду с последними важную роль в различных приложениях математики.

   Из соотношения (2) следует, что П. ф. (комплексного переменного z) имеет период 2pi, то есть ez+2pi = ezили e2pi = 1. Производная П. ф. равна самой функции: (ez)" = ez.

   Указанными свойствами П. ф. определяются её многочисленные приложения. В частности, П. ф. выражает закон (т. н. закон естественного роста), определяющий течение процессов, скорость которых пропорциональна наличному значению изменяющейся величины; примером могут служить химические мономолекулярные реакции или, при известных условиях, рост колоний бактерий. Периодичность П. ф. комплексного переменного наряду с другими её свойствами является причиной, по которой эта функция играет исключительно важную роль при изучении всяких периодических процессов, в частности колебаний и распространения волн.

Показательная функция — математическая функция f(x) = a, где a называется основанием степени , а x — показателем степени .

• В вещественном случае основание степени a — некоторое неотрицательное вещественное число , а аргументом функции является вещественный показатель степени.
• В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число .
• В самом общем виде — u, введена Лейбницем в 1695 г.

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e . Такая функция называется экспонентой .