Значение слова объём

объёма, м.

1. Величина в длину, ширину и высоту какого-н. тела с замкнутыми поверхностями, измеряемая в кубических единицах. Объем шара. Объем комнаты равен 140 куб. метрам. Объем воды увеличивается при нагревании.

2. Величина, размеры. Книга небольшого объема. Объем капитальных вложений в промышленность. ? Содержание чего-н. с точки зрения величины, размеров, количества содержащегося. Объем работ. Объем знаний. Поставить проблему во всем объеме. Объем понятия (филос.) - в формальной логике: совокупность признаков, включенных в понятие.

м.

1. Величина в длину, ширину и высоту какого-л. тела с замкнутыми поверхностями, измеряемая в кубических единицах.

2. 1. Величина, размеры чего-л.

   2. Содержание чего-л. с точки зрения величины, размеров, количества содержащегося.

одна из основных величин, связанных с геометрическими телами. В простейших случаях измеряется числом умещающихся в теле единичных кубов, т. е. кубов с ребром, равным единице длины.

Задача вычисления О. простейших тел, идущая от практических потребностей, была одним из стимулов развития геометрии. Математика Древнего Востока (Вавилония, Египет) располагала рядом правил (большей частью эмпирических) для вычисления О. тел, с которыми чаще всего приходилось встречаться на практике (например, призматических брусьев, пирамид полных и усечённых, цилиндров). Среди формул О. были и неточные, дававшие не слишком заметную процентную ошибку лишь в пределах употребительных линейных размеров тела. Греческая математика последних столетий до нашей эры освободила теорию вычисления О. от приближённых эмпирических правил. В «Началах» Евклида и в сочинениях Архимеда имеются только точные правила для вычисления О. многогранников и некоторых круглых тел (цилиндра, конуса, шара и их частей). При этом уже в учении об О. многогранников греческой математики должны были преодолеть значительные трудности, существенно отличающие этот отдел геометрии от родственного ему отдела о площадях многоугольников. Источник различия, как выяснилось лишь в начале 20 в., состоит в следующем: в то время как всякий многоугольник можно посредством надлежащих прямолинейных разрезов и перекладывания полученных частей «перекроить» в квадрат, аналогичное преобразование (посредством плоских разрезов) произвольного многогранника в куб оказывается, вообще говоря, невозможным (теорема Дена, 1901). Отсюда становится ясным, почему Евклид уже в случае треугольной пирамиды был вынужден прибегнуть к бесконечному процессу последовательных приближений, пользуясь при доказательстве исчерпывания методом . Бесконечный процесс лежит и в основе современной трактовки измерения О., сводящийся к следующему. Рассматриваются всевозможные многогранники, вписанные в тело К, и всевозможные многогранники, описанные вокруг тела К. Вычисление О. многогранника сводится к вычислению объёмов составляющих его тетраэдров (треугольных пирамид). Пусть {Vi} ≈ числовое множество объёмов, вписанных в тело многогранников, a {Vd} ≈ числовое множество описанных вокруг тела К многогранников. Множество {Vi} ограничено сверху (объёмом любого описанного многогранника), а множество {Vd} ограничено снизу (например, числом нуль). Наименьшее из чисел, ограничивающее сверху множество {Vi}, называется нижним объёмом V тела К; а наибольшее из чисел, ограничивающее снизу множество {Vd}, называется верхним объёмом ═тела К. Если верхний объём ═тела К совпадает с его нижним объёмом V, то число V =═= V ═называется объёмом тела К, а само тело ≈ кубируемым телом. Для того чтобы тело было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа e можно было указать такой описанный вокруг тела многогранник и такой вписанный в тело многогранник, разность Vd ≈ Vi объёмов которых была бы меньше e.

Аналитически О. может быть выражен с помощью кратных интегралов. Пусть тело К (рис. 1) ограничено цилиндрической поверхностью с параллельными оси Oz образующими, квадрируемой областью М плоскости Оху и поверхностью z = f (x, у), которую любая параллель к образующей цилиндра пересекает в одной и только в одной точке. Объём такого тела может быть вычислен с помощью двойного интеграла

.

О. тела, ограниченного замкнутой поверхностью, которая встречается с параллелью к оси Oz не более чем в двух точках, может быть вычислен как разность О. двух тел, подобных предшествующему. О. тела может быть выражен в виде тройного интеграла

где интегрирование распространяется на часть пространства, занятую телом. Иногда удобно вычислять О. тел через его поперечные сечения. Пусть тело (рис.2), содержащееся между плоскостями z = а и z = b (b > а), рассекается плоскостями, перпендикулярными оси Oz. Если все сечения тела квадрируемы и площадь сечения S ≈ непрерывная функция от z, то О. тела может быть выражен простым интегралом

. (1)

Исторически происходило так, что задолго до создания интегрального исчисления операция интегрирования фактически применялась (в различных геометрических формах) к вычислению О. простейших тел (пирамиды, шара, некоторых тел вращения), чем и была подготовлена почва для оформления этого исчисления в 17≈18 вв. В частности, формулу (1) содержал в зародыше т. н. Кавальери принцип , сохраняющий своё значение для школьного преподавания. В элементарном преподавании полезной оказывается также Симпсона формула , соответствующая тому случаю, когда в (1) функция S (z) является многочленом не выше 3-й степени.

Об обобщениях понятия «О.» см. в ст. Мера множества .

Лит.: Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1≈2, М., 1970; Лебег А., Об измерении величин, пер. с франц., 2 изд., М., 1960.

Объём — количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Объём тела или вместимость сосуда определяется его формой и линейными размерами. С понятием объёма тесно связано понятие вместимость, то есть объём внутреннего пространства сосуда, упаковочного ящика и т. п.

Единица измерения объёма в СИ — кубический метр ; от неё образуются производные единицы, такие как кубический сантиметр , кубический дециметр ( литр ) и т. д. В разных странах для жидких и сыпучих веществ используются также различные внесистемные единицы объёма — галлон , баррель .

В формулах для обозначения объёма используется заглавная латинская буква V, являющаяся сокращением от — «объём», «наполнение».

Слово «объём» также используют в переносном значении для обозначения общего количества или текущей величины. Например, «объём спроса», «объём памяти», «объём работ». В изобразительном искусстве объёмом называется иллюзорная передача пространственных характеристик изображаемого предмета художественными методами.

Объём — это аддитивная функция от множества ( мера ), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении тел трёхмерного евклидова пространства . Первые точные определения были даны Пеано ( 1887 ) и Жорданом ( 1892 ). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.

• Объём — занимаемое чем-либо пространство .
• Объём — вообще величина , количество
• Объём — количественная характеристика пространства
• В математике:
  • Объём
  • Мера Жордана
  • Мера Лебега
  • Ориентированный объём
  • Смешанный объём
• В биологии:
  • Объём таксона
• Объём торгов — число акций, переходящее от продавцов к покупателям в течение торговой сессии.