Значение слова эндоморфизм

(от эндо... и греч. morphe ≈ вид, форма), отображение множества в себя, сохраняющее алгебраические операции и отношения, которые определены на этом множестве. Например, отображение х ╝ 2х является Э. аддитивной группы целых чисел, так как 2(х + у) = 2x + 2y.

Эндоморфизм — гомоморфизм вида f: G → G, отображающий алгебраическую систему в себя. Более общо, мы можем говорить об эндоморфизмах в произвольной категории . В любой категории композиция двух эндоморфизмов X также является эндоморфизмом, композиция ассоциативна и существует тождественный эндоморфизм. Отсюда следует, что эндоморфизмы X образуют моноид , который обозначается End(X) (или End(X), чтобы подчеркнуть категорию C).

Обратимый эндоморфизм (обладающий свойствами изоморфизма ) называется автоморфизмом . Множество автоморфизмов является подмножеством End(X) с естественной структурой группы, оно обозначается Aut(X).

Любые два эндоморфизма абелевой группы можно складывать по правилу (f + g)(a) = f(a) + g(a). С определенным таким образом сложением, эндоморфизмы любой абелевой группы образуют кольцо , называемое кольцом эндоморфизмов . Например, эндоморфизмы свободной абелевой группы $\mathbb Z^n$ — это кольцо всех n × n матриц с целыми коэффициентами. Эндоморфизмы векторного пространства или модуля также образуют кольцо, как и эндоморфизмы любого объекта предаддитивной категории . Эндоморфизмы коммутативного моноида образуют полукольцо , а эндоморфизмы некоммутативной группы образуют структуру, известную как почтикольцо .