Что значит "характеристическая функция"

в математике,

1. то же, что собственная функция .

2. Х. ф. множества А (в современной терминологии ≈ индикатор А) ≈ функция f (x), определённая на некотором множестве Е, содержащем множество А, и принимающая значение f (x) = 1, если x принадлежит множеству А, и значение f (x) = 0, если x не принадлежит ему.

3. В теории вероятностей Х. ф. fX (t) случайной величины Х определяется как математическое ожидание величины eitX. Это определение для случайных величин, имеющих плотность вероятности pX (x), приводит к формуле

   .

   Например, для случайной величины, имеющей нормальное распределение с параметрами а и s, Х. ф. равна

   .

   Свойства Х. ф.: каждой случайной величине Х соответствует определённая Х. ф. fX (t); распределение вероятностей для Х однозначно определяется по fX (t); при сложении независимых случайных величин соответствующие Х. ф. перемножаются; при надлежащем определении понятия «близости» случайным величинам с близкими распределениями соответствуют Х. ф., мало отличающиеся друг от друга, и, обратно, близким Х. ф. соответствуют случайные величины с близкими распределениями. Указанные свойства лежат в основе применений Х. ф., в частности к выводу предельных теорем теории вероятностей. Впервые аппарат, по существу равнозначный Х. ф., был использован П. Лапласом (1812), но вся сила метода Х. ф. была показана А. М. Ляпуновым (1901), получившим с его помощью свою известную теорему.

   Понятие Х. ф. может быть обобщено на конечные и бесконечные системы случайных величин (т. е. на случайные векторы и случайные процессы).

   Теория Х. ф. имеет много общего с теорией Фурье интеграла .

   Лит.: Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., М., 1969; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973.

Характеристическая функция:

• Характеристическая функция в термодинамике — функция, посредством которой определяются термодинамические свойства системы.
• Характеристическая функция множества — функция , устанавливающая принадлежность элемента множеству ;
• Характеристическая функция нечёткого множества — это обобщение индикаторной функции классического множества .
• Характеристическая функция случайной величины — преобразование Фурье распределения случайной величины .
• Характеристическая функция кооперативной игры — отображение, ставящее в соответствие любой допустимой коалиции в кооперативной игре величину выигрыша, который эта коалиция может получить, действуя независимо от остальных участников.

Характеристическая функция — функция состояния термодинамической системы , рассматриваемая как математическая функция определённого набора термодинамических параметров — естественных независимых переменных — и характеризующаяся тем, что посредством этой функции, её частных производных по естественным переменным и самих естественных переменных могут быть выражены в явном виде все термодинамические свойства системы. После замены хотя бы одной из естественных переменных на другую независимую переменную функция перестаёт быть характеристической. При фиксированных естественных переменных характер изменения характеристической функции указывает на направление протекания самопроизвольного процесса. Характеристическая функция аддитивна : характеристическая функция всей системы равна сумме характеристических функций её частей.

Характеристическими функциями являются

• внутренняя энергия системы U,  рассматриваемая как функция энтропии S и обобщённых термодинамических координат x, x, ... — объёма системы, площади поверхности раздела фаз , длины упругого стержня , поляризации диэлектрика , намагниченности магнетика , масс компонентов системы и др.:

U = U(S, x, x, ...); 

• энтропия системы S,  рассматриваемая как функция внутренней энергии U и обобщённых координат x, x, ...:

S = S(U, x, x, ...); 

• любая обобщённая координата (пусть, для определённости, это будет x) рассматриваемая как функция внутренней энергии U,  энтропии S и остальных обобщённых координат x, ...:

x = x(U, S, x, ...).