Что значит "унитарный оператор"

обобщение понятия вращения евклидова пространства на бесконечномерный случай. Именно, У. о. √ оператор вращений гильбертова пространства вокруг нулевой точки. Оператор U, отображающий гильбертово пространство Н на себя, называется У. о., если (f, g) = (Uf, Ug)(см. Скалярное произведение ) для любых двух векторов f и g из Н. У. о. не изменяет длин векторов в Н и углов между ними и является линейным оператором . Он имеет обратный оператор U1, также являющийся У. о.; при этом U1 = U*, где U* √ сопряжённый оператор. Примером У. о. может служить оператор Фурье √ Планшереля, ставящий в соответствие каждой функции f (x), √ ¥ < х <+ ¥, с интегрируемым квадратом модуля функцию

(см. Фурье преобразование ). См. также Операторов теория , Спектральный анализ линейных операторов.

Унитарный оператор — ограниченный линейный оператор U : H → H на гильбертовом пространстве H, который удовлетворяет соотношению

где U — эрмитово сопряжённый к U оператор, и I : H → H единичный оператор. Это свойство эквивалентно следующим:

1. U сохраняет скалярное произведение 〈 , 〉 гильбертового пространства, то есть, для всех векторов x и y в гильбертовом пространстве, ⟨Ux, Uy⟩ = ⟨x, y⟩.

Это также эквивалентно, казалось бы более слабому условию:

1. U сохраняет скалярное произведение , и
2. образ U — плотное множество .

Чтобы увидеть это, заметим, что U изометричен . Это следует из того, что U сохраняет скалярное произведение. Образ U — плотное множество . Очевидно, что U = U.

Унитарный элемент это обобщение понятия унитарного оператора. В унитарной *-алгебре , элемент U алгебры называется унитарным элементом если

где I единичный элемент.

Свойства унитарных преобразований:

• оператор унитарного преобразования всегда обратим
• если оператор $\hat H$ эрмитов , то оператор $\hat U = \exp(i\hat H)$ унитарен.