Что значит "скалярное произведение"

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ векторов а и b число (скаляр) (a,b), равное произведению длин этих векторов на косинус угла ? между ними, т.е. (a,b) = |а|·|b| cos ?. Напр., работа силы F вдоль прямолинейного отрезка S равна (F,S).

векторов а и b, скаляр , равный произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними; обозначается (а, b) (или ab). Например, работа постоянной силы F вдоль прямолинейного пути S равна (F, S). Свойства С. п.:

1. (а, b) = (b, а),

2. (aа, b) = a(а, b) (a ≈ скаляр),

3. (a, b + c)= (a, b) + (а, с),

4. (a, a) > 0, если а ¹ 0, и (а, а) = 0, если а = 0.

   Длина вектора а равна . Если (а, b) = 0, то либо а = 0, либо b = 0, либо a ^ b. Если а = (a1, a2, a3) и b = (b1, b2, b3), то (а, b) = a1 b1 + a2b2 +a3b3 (в прямоугольных декартовых координатах). Понятие «С. п.» обобщают на n-мерные векторные пространства , где равенство (а, b) = ═принимают за определение С. и. и с помощью так определённого С. п. вводят геометрическое понятия длины вектора, угла между векторами и т. д. Бесконечномерное линейное пространство , в котором определено С. п. и выполнена аксиома полноты относительно нормы ═(см. Полное пространство ), называют гильбертовым пространством . Гильбертовы пространства играют важную роль в функциональном анализе и квантовой механике. Для векторных пространств над полем комплексных чисел условие 1) заменяют условием (а, b) = и С. п. определяют как .

   Векторы а и b можно рассматривать как кватернионы a1i + a2j + a3k и b1i + b2j + b3k. Тогда их С. п. равно взятой с обратным знаком скалярной части произведения этих кватернионов (а векторное произведение ≈ векторной части).

Скаля́рное произведе́ние (иногда внутреннее произведение) — операция над двумя векторами , результатом которой является число [когда рассматриваются векторы, числа часто называют скалярами ], не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Обычно используется одно из следующих обозначений:

$\langle \mathbf a, \mathbf b \rangle$, $(\mathbf a, \mathbf b)$, $\mathbf a \cdot \mathbf b$,

или ( обозначение Дирака , часто применяемое в квантовой механике для векторов состояния):

⟨a∣b⟩.

Обычно предполагается, что скалярное произведение положительно определено, то есть

$\langle \mathbf a, \mathbf a \rangle > 0$ для всех $a\not=0$.

Если этого не предполагать, то произведение называется индефинитным или неопределенным .