Значение слова тождество

-а и ТОЖЕСТВО. -а, ср.

1. Полное сходство, совпадение. Г. взглядов.

2. (тождество). В математике: равенство, справедливое при любых числовых значениях входящих в него величин. || прил. тождественный, -ая, -ое и тожественный, -ая, -ое (к 1 знач.). Тождественные алгебраические выражения. ТОЖЕ [не смешивать с сочетанием местоимения "то" и частицы "же"].

   1. нареч. Равным образом, так же, как и кто-что-н. Ты устал, я т.

   2. союз. То же, что также. Ты уезжаешь, а брат? - Т.

3. частица. Выражает недоверчивое или отрицательное, ироническое отношение (прост.). *Т. умник нашелся! Он поэт. - Поэт т. (мне)!

1. ср.

   1. Абсолютное совпадение с кем-л., чем-л. как в своей сущности, так и во внешних признаках и проявлениях.

   2. Точное соответствие чего-л. чему-л.

2. ср. Равенство, справедливое при всех числовых значениях входящих в него букв (в математике).

отношение между объектами (предметами реальности, восприятия, мысли), рассматриваемыми как "одно и то же"; "предельный" случай отношения равенства. В математике тождество - это уравнение, которое удовлетворяется тождественно, т.е. справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных.

основное понятие логики, философии и математики; используется в языках научной теорий для формулировки определяющих соотношений, законов и теорем. В математике Т. ≈ это уравнение , которое удовлетворяется тождественно, то есть справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных. С логической точки зрения, Т. ≈ это предикат , изображаемый формулой х = у (читается: «х тождественно у», «х то же самое, что и y»), которому соответствует логическая функция, истинная, когда переменные х и у означают различные вхождения «одного и того же» предмета, и ложная в противном случае. С философской (гносеологической) точки зрения, Т. ≈ это отношение , основанное на представлениях или суждениях о том, что такое «один и тот же» предмет реальности, восприятия, мысли. Логические и философские аспекты Т. дополнительны: первый даёт формальную модель понятия Т., второй ≈ основания для применения этой модели. Первый аспект включает понятие об «одном и том же» предмете, но смысл формальной модели не зависит от содержания этого понятия: игнорируются процедуры отождествлений и зависимость результатов отождествлений от условий или способов отождествлений, от явно или неявно принимаемых при этом абстракций. Во втором (философском) аспекте рассмотрения основания для применения логических моделей Т. связываются с тем, как отождествляются предметы, по каким признакам, и уже зависят от точки зрения, от условий и средств отождествления. Различение логических и философских аспектов Т. восходит к известному положению, что суждение о тождественности предметов и Т. как понятие ≈ это не одно и то же (см. Платон, Соч., т. 2, М., 1970, с. 36). Существенно, однако, подчеркнуть независимость и непротиворечивость этих аспектов: понятие Т. исчерпывается смыслом соответствующей ему логической функции; оно не выводится из фактической тождественности предметов, «не извлекается» из неё, а является абстракцией, восполняемой в «подходящих» условиях опыта или, в теории, ≈ путём предположений ( гипотез ) о фактически допустимых отождествлениях; вместе с тем, при выполнении подстановочности (см. ниже аксиому 4) в соответствующем интервале абстракции отождествления, «внутри» этого интервала, фактическое Т. предметов в точности совпадает с Т. в логическом смысле. Важность понятия Т. обусловила потребность в специальных теориях Т. Самый распространённый способ построения этих теорий ≈ аксиоматический. В качестве аксиом можно указать, например, следующие (не обязательно все):

1. х = х,

2. х = у É у = х,

3. x = y & y = z É x = z,

4. А (х) É (х = у É А (у)),

   где А (х) ≈ произвольный предикат, содержащий х свободно и свободный для у, а А (х) и А (у) различаются только вхождениями (хотя бы одним) переменных х и y.

   Аксиома 1 постулирует свойство рефлексивности Т. В традиционной логике она считалась единственным логическим законом Т., к которому в качестве «нелогических постулатов» добавляли обычно (в арифметике, алгебре, геометрии) аксиомы 2 и З. Аксиому 1 можно считать гносеологически обоснованной, поскольку она является своего рода логическим выражением индивидуации, на котором, в свою очередь, основывается «данность» предметов в опыте, возможность их узнавания: чтобы говорить о предмете «как данном», необходимо как-то выделить его, отличить от др. предметов и в дальнейшем не путать с ними. В этом смысле Т., основанное на аксиоме 1, является особым отношением «самотождественности», которое связывает каждый предмет только с самим собой ≈ и ни с каким др. предметом.

   Аксиома 2 постулирует свойство симметричности Т. Она утверждает независимость результата отождествления от порядка в парах отождествляемых предметов. Эта аксиома также имеет известное оправдание в опыте. Например, порядок расположения гирь и товара на весах различен, если смотреть слева направо, для покупателя и продавца, обращенных лицом друг к другу, но результат ≈ в данном случае равновесие ≈ один и тот же для обоих.

   Аксиомы 1 и 2 совместно служат абстрактным выражением Т. как неразличимости, теории, в которой представление об «одном и том же» предмете основывается на фактах не наблюдаемости различий и существенно зависит от критериев различимости, от средств (приборов), отличающих один предмет от другого, в конечном счёте ≈ от абстракции неразличимости. Поскольку зависимость от «порога различимости» на практике принципиально неустранима, представление о Т., удовлетворяющем аксиомам 1 и 2, является единственным естественным результатом, который можно получить в эксперименте.

   Аксиома 3 постулирует транзитивность Т. Она утверждает, что суперпозиция Т. также есть Т. и является первым нетривиальным утверждением о тождественности предметов. Транзитивность Т. ≈ это либо «идеализация опыта» в условиях «убывающей точности», либо абстракция, восполняющая опыт и «создающая» новый, отличный от неразличимости, смысл Т.: неразличимость гарантирует только Т. в интервале абстракции неразличимости, а эта последняя не связана с выполнением аксиомы З. Аксиомы 1, 2 и 3 совместно служат абстрактным выражением теории Т. как эквивалентности .

   Аксиома 4 постулирует необходимым условием для Т. предметов совпадение их признаков. С логической точки зрения, эта аксиома очевидна: «одному и тому же» предмету принадлежат все его признаки. Но поскольку представление об «одном и том же» предмете неизбежно основывается на определённого рода допущениях или абстракциях, эта аксиома не является тривиальной. Её нельзя верифицировать «вообще» ≈ по всем мыслимым признакам, а только в определённых фиксированных интервалах абстракций отождествления или неразличимости. Именно так она и используется на практике: предметы сравниваются и отождествляются не по всем мыслимым признакам, а только по некоторым ≈ основным (исходным) признакам той теории, в которой хотят иметь понятие об «одном и том же» предмете, основанное на этих признаках и на аксиоме 4. В этих случаях схема аксиом 4 заменяется конечным списком её аллоформ ≈ конгруентных ей «содержательных» аксиом Т. Например, в аксиоматической теории множеств Цермело ≈ Френкеля ≈ аксиомами:

   4.1 z Î x É (x = y É z Î y),

   4.2 x Î z É (x = y É y Î z),

   определяющими, при условии, что универсум содержит только множества, интервал абстракции отождествления множеств по «членству в них» и по их «собственному членству», с обязательным добавлением аксиом 1≈3, определяющих Т. как эквивалентность.

   Перечисленные выше аксиомы 1≈4 относятся к так называемым законам Т. Из них, используя правила логики, можно вывести и многие др. законы, неизвестные в до математической логике. Различие между логическим и гносеологическим (философским) аспектами Т. не имеет значения, коль скоро речь идёт об общих абстрактных формулировках законов Т. Дело, однако, существенно меняется, когда эти законы используются для описания реалий. Определяя понятие «один и тот же» предмет, аксиоматики Т. необходимо влияют на формирование универсума «внутри» соответствующей аксиоматической теории.

   Лит.: Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Новоселов М., Тождество, в кн.: Философская энциклопедия, т. 5, М., 1970; его же, О некоторых понятиях теории отношений, в кн.: Кибернетика и современное научное познание, М., 1976; Шрейдер Ю. А., Равенство, сходство, порядок, М., 1971; Клини С. К., Математическая логика, пер. с англ., М., 1973; Frege G., Schriften zur Logik, B., 1973.

   М. М. Новосёлов.

То́ждество (в математике ) — равенство , выполняющееся на всём множестве значений входящих в него переменных , например:

и т. п. Иногда называют тождеством также равенство, не содержащее никаких переменных; напр. 25 = 625.

Тождественное равенство, когда его хотят подчеркнуть особо, обозначается символом « ≡ ».

То́ждество, тожде́ственность — многозначные термины.

• Тождество — равенство, выполняющееся на всём множестве значений входящих в него переменных.
• Тождество — полное совпадение свойств предметов.
• Тождественность в физике — характеристика объектов, при которой замена одного из объектов другим не изменяет состояние системы при сохранении данных условий.
• Закон тождества — один из законов логики.
• Принцип тождественности — принцип квантовой механики, согласно которому состояния системы частиц, получающиеся друг из друга перестановкой тождественных частиц местами, нельзя различить ни в каком эксперименте, и такие состояния должны рассматриваться как одно физическое состояние.
• «Тождественность и действительность» — книга Э. Мейерсона .

Тождество — философская категория , выражающая равенство, одинаковость предмета, явления с самим собой или равенство нескольких предметов. О предметах А и В говорят, что они являются тождественными, одними и теми же, если и только если все свойства . Это означает, что тождество неразрывно связано с различием и является относительным. Всякое тождество вещей временно, преходяще, а их развитие, изменение абсолютно . В точных науках, однако, абстрактное, то есть отвлекающееся от развития вещей, тождество в соответствии с законом Лейбница, используется потому, что в процессе познания возможны и необходимы в известных условиях идеализация и упрощение действительности. С подобными ограничениями формулируется и логический закон тождества .

Тождество следует отличать от сходства , подобия и единства .

Сходными мы называем предметы, обладающие одним или несколькими общими свойствами; чем больше у предметов общих свойств, тем ближе их сходство подходит к тождеству. Два предмета считаются тождественными, если их качества совершенно сходны.

Однако, следует помнить, что в мире предметном тождества быть не может, так как два предмета, сколь бы ни были они сходны по качествам, всё же отличаются числом и занимаемым ими пространством; только там, где материальная природа возвышается до духовности, появляется возможность тождества.

Необходимое условие тождества — это единство: где нет единства, не может быть и тождества. Материальный мир, делимый до бесконечности, единством не обладает; единство появляется с жизнью, в особенности с духовной жизнью. Мы говорим о тождестве организма в том смысле, что его единая жизнь пребывает, несмотря на постоянную смену частиц, образующих организм; где есть жизнь, там есть единство, но в настоящем значении слова ещё нет тождества, поскольку жизнь убывает и прибывает, оставаясь неизменной лишь в идее.

То же самое можно сказать и о личности — высшем проявлении жизни и сознания; и в личности нами лишь предполагается тождество, в действительности же его нет, так как самое содержание личности постоянно меняется. Истинное тождество возможно только в мышлении; правильно образованное понятие имеет вечную ценность независимо от условий времени и пространства, в которых оно мыслится.

Лейбниц своим principium indiscernibilium установил мысль, что не могут существовать две вещи совершенно сходные в качественном и количественном отношениях, поскольку такое сходство было бы ни чем иным, как тождеством.

Философия тождества выступает центральной идеей в работах Фридриха Шеллинга .