Новый толково-словообразовательный словарь русского языка, Т. Ф. Ефремова.
совместничество
ср. устар. То же, что: соперничество.
Примеры употребления слова совместничество в литературе.
Рассказ ваш задобрил меня в его пользу, и мне как туземцу приятно будет вступить в лестное совместничество с русским, когда дело идет о том, чтобы сделать добро французу.
Эрос Цезарь, воспользовавшийся в этой войне помощью Лепида, вдруг стал отрицать его права на совместничество, отверг его участие в славе похода и, не довольствуясь этим, обвиняет Лепида по поводу какой-то старой переписки его с Помпеем.
Бывший царь и великий князь тверской, Симеон Бекбулатович, был также вызван из ссылки и явился при дворе с прежнею честию: мнимый сын Грозного не боялся его совместничества.
Источник: библиотека Максима Мошкова