Что значит "случайная величина"

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА (в теории вероятностей) величина, принимающая в зависимости от случайного исхода испытания те или иные значения с определенными вероятностями. Так, число очков, выпадающее на верхней грани игральной кости, представляет собой случайную величину, принимающую значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 с вероятностью 1/6 каждое. Если случайная величина принимает конечную или бесконечную последовательность различных значений, то ее распределение вероятностей (закон распределения) задается указанием этих значений и соответствующих им вероятностей.

в теории вероятностей, величина, принимающая в зависимости от случая те или иные значения с определёнными вероятностями . Так, число очков, выпадающее на верхней грани игральной кости, представляет собой С. в., принимающую значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 с вероятностью 1/6 каждое. Если С. в. Х принимает конечную или бесконечную последовательность различных значений, то её распределение вероятностей (закон распределения) задаётся указанием этих значений:

x1, x2,..., xn,...

и соответствующих им вероятностей:

p1, p2,..., pn....

С. в. указанного типа называются дискретными. В других случаях распределение вероятностей задаётся указанием для каждого отрезка D = [а, b] вероятности Рх (а, b) неравенства а £ х < b. Особенно часто встречаются С. в., для которых существует такая функция px (x) ( плотность вероятности ), что

С. в. этого типа называются непрерывными.

Ряд общих свойств распределения вероятностей С. в. достаточно полно описывается небольшим количеством числовых характеристик. Наиболее употребительными среди этих последних являются математическое ожидание ЕХ С. в. Х и её дисперсия DX. Менее употребительны медиана , мода , квантили и т. п. См. также Вероятностей теория .

Лит.: Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., М., 1969; Крамер Г., Случайные величины и распределения вероятностей, пер. с англ., М., 1947.

""Случайная величина "" является одним из основных понятий теории вероятностей . Роль случайной величины, как одного из основных понятий теории вероятностей, впервые была чётко осознана П. Л. Чебышевым , который обосновал общепринятую на сегодня точку зрения на это понятие (1867). Понимание случайной величины как частного случая общего понятия функции, пришло значительно позднее, в первой трети 20 века. Впервые полное формализованное представление основ теории вероятностей на базе теории меры было разработано А. Н. Колмогоровым (1933) , после которого стало ясным, что случайная величина представляет собой измеримую функцию , определенную на вероятностном пространстве . В учебной литературе эта точка зрения впервые последовательно проведена У. Феллером .

Случайные величины используются для математического представления таких сторон объектов, систем и событий, количественную характеристику которых до проведения опыта по их измерению, однозначно определить принципиально невозможно. Примером таких систем могут служить микроскопические объекты, состояние которых описывается квантовой механикой . Случайными величинами описываются события передачи наследственных признаков от родительских организмов к их потомкам (см. Законы Менделя ). Следует также отметить, что существует ряд задач математического анализа и теории чисел для которых участвующие в их формулировках функции целесообразно рассматривать как случайные величины, определенные на подходящих вероятностных пространствах.

Формальное математическое определение следующее: пусть (Ω, F, P) — вероятностное пространство , тогда случайной величиной называется функция X: Ω → R, измеримая относительно F и борелевской σ-алгебры на R. Вероятностное поведение отдельной случайной величины полностью описывается её распределением .