Значение слова полигамма-функция

Полига́мма-фу́нкция порядка m в математике определяется как (m+1)-я производная натурального логарифма гамма-функции ,

$$\psi^{(m)}(z) = \frac{{\rm d}^m}{{\rm d}z^m} \psi(z) = \frac{{\rm d}^{m+1}}{{\rm d}z^{m+1}} \ln\Gamma(z) \; ,$$

где Γ(z) — гамма-функция , а

$$\psi(z) = \psi^{(0)}(z) = \frac{\Gamma"(z)}{\Gamma(z)}$$

— дигамма-функция , которую также можно определить через сумму следующего ряда:

$$\psi(z) = \psi^{(0)}(z) = -\gamma + \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+z}\right)\;,$$

где ${\textstyle{\gamma}}$ — постоянная Эйлера—Маскерони . Это представление справедливо для любого комлексного z ≠ 0,   − 1,   − 2,   − 3, … (в указанных точках функция ${\textstyle{\psi(z)}}$ имеет сингулярности первого порядка).

Полигамма-функцию также можно определить через сумму ряда

$$\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \sum\limits_{k=0}^\infty \displaystyle{\frac{1}{(z+k)^{m+1}}}\;, \qquad m>0 \;,$$

который получается из представления для дигамма-функции дифференцированием по z. Это представление также справедливо для любого комлексного z ≠ 0,   − 1,   − 2,   − 3, … (в указанных точках функция ${\textstyle{\psi^{(m)}(z)}}$ имеет сингулярности порядка (m+1)). Оно может быть записано через дзета-функцию Гурвица ,

ψ(z) = ( − 1) m! ζ(m + 1, z) .

В этом смысле дзета-функция Гурвица может быть использована для обобщения полигамма-функции на случай произвольного порядка m.

Отметим, что в литературе ${\textstyle{\psi^{(m)}(z)}}$ иногда обозначается как ${\textstyle{\psi_{m}(z)}}$ или явным образом указываются штрихи для производных по z. Функция ${\textstyle{\psi"(z)=\psi^{(1)}(z)}}$ называется тригамма-функцией , ${\textstyle{\psi"(z)=\psi^{(2)}(z)}}$ — тетрагамма-функцией, ${\textstyle{\psi""(z)=\psi^{(3)}(z)}}$ — пентагамма-функцией, ${\textstyle{\psi""(z)=\psi^{(4)}(z)}}$ — гексагамма-функцией, и т.д.

__TOC__