Толковый словарь русского языка. Д.Н. Ушаков
побешусь, побесишься, сов. (разг.).
Сильно посердиться придя в раздражение, гнев. Побесился и успокоился.
Поиграть, порезвиться без удержу. Дети побесились.
Новый толково-словообразовательный словарь русского языка, Т. Ф. Ефремова.
сов. разг. В течение некоторого времени совершить действие, названное соответствующим беспрефиксным глаголом.
Примеры употребления слова побеситься в литературе.
Я думала, что знаю Егора, примеряла по себе: побесилась, шумнула, отойду, в конце концов.
Источник: библиотека Максима Мошкова