непротиворечивость в словаре кроссвордиста
Энциклопедический словарь, 1998 г.
совместимость, отсутствие противоречия - логический критерий корректности (правильности) некоторого утверждения, рассуждения или их совокупности (теории). Непротиворечивость исчисления означает логическую возможность его интерпретации и является необходимым условием его практической реализуемости.
Большая Советская Энциклопедия
совместимость, свойство дедуктивной теории (или системы аксиом , посредством которых теория задаётся), состоящее в том, что из неё нельзя вывести противоречие, т. е. какие-либо два предложения А и Ø А, каждое из которых является отрицанием другого. Для широкого класса формальных теорий, включающих аксиому А & Ø А É В («из противоречия следует любое утверждение»), Н. равносильна существованию в данной теории хотя бы одного недоказуемого предложения.
Н., необходимая для того чтобы система могла рассматриваться как описание некоторой «содержательной ситуации», отнюдь не гарантирует существования такой ситуации. Впрочем, для любой непротиворечивой системы аксиом в каждом случае могут быть указаны абстрактные модели; поэтому для представителей «классических» направлений в основаниях математики и логики (и тем более для представителей моделей теории ) Н. служит если и не обоснованием «существования» описываемых аксиомами совокупностей абстрактных объектов, то, по крайней мере, достаточным основанием для содержательного рассмотрения и изучения таких объектов. Поскольку описываемая теорией «ситуация» лежит вне самой теории, данное выше понятие Н., которое можно назвать «внутренней» (иначе ≈синтаксической, или логической) Н., тесно связано с так называемой «внешней» (семантической) Н., заключающейся в недоказуемости в данной теории никакого предложения, противоречащего (в обычном содержательном смысле) фактам описываемой ею «действительности». Несмотря на эту связь, синтаксическая и семантическая Н. равносильны лишь для таких «бедных» логических теорий, как, например, исчисление высказываний (см. Логика высказываний ); вообще же говоря, внутренняя Н. сильнее внешней. Роль отображаемой какой-либо конкретной теорией «действительности» может играть и некоторая другая дедуктивная теория, так что внешнюю Н. исходной теории можно понимать как её относительную Н., а указание системы соответствующих семантических правил перевода понятий, выражений и утверждений из второй теории в первую, дающее интерпретацию (модель) исходной теории, оказывается для неё доказательством относительной Н.
В классической математике источником построения моделей для таких доказательств служит в конечном счёте множеств теория . Однако обнаружение в теории множеств парадоксов (антиномий) обусловило потребность поиска новых, принципиально отличных от метода интерпретаций, методов доказательства Н., ≈ в некотором смысле «абсолютных». (Такая потребность возникает и в силу несовпадения понятий внутренней и внешней Н.) Можно избрать и промежуточный путь, требуя абсолютное доказательство Н. только для аксиоматической теории множеств (к которой уже можно было бы сводить проблемы Н. конкретных математических теорий чисто теоретико-модельными средствами) или даже хотя бы для такого относительно простого её фрагмента, как формализованная арифметика натуральных чисел, так как средствами последней строится теоретико-множественный «универсум» (предметная область) основных разделов классической математики. Такой путь и избрал Д. Гильберт , предложивший широкую программу, в ходе выполнения которой обосновываемые теории, прежде всего, подвергались бы формализации , а полученные формальные системы (исчисления) исследовались бы на предмет их синтаксической Н. так называемыми финитными (т. е. содержательными, но не использующими сомнительных теоретико-множественных абстракций) средствами. Такие абсолютные доказательства Н. составили основное содержание развиваемой школой Гильберта метаматематики (теории доказательства). Но уже в 1931 К. Гёдель доказал принципиальную невыполнимость гильбертовой программы, а тем самым и ограниченность аксиоматического метода, в рамках которого для достаточно богатых формальных теорий требования Н. и полноты оказываются несовместимыми (подробнее см. Аксиоматический метод ). Что же касается содержательных дедуктивных теорий (в том числе и математических), по отношению к которым требование полноты теряет смысл, то для них Н. по-прежнему остаётся важнейшим необходимым критерием осмысленности и практической приложимости.
Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957 (имеется лит.). См. также лит. при статьях Аксиоматический метод , Метаматематика .
Ю. А. Гастев.
Википедия
Непротиворечивость — свойство формальной системы , заключающееся в невыводимости из неё противоречия. Если отрицание какого-то предложения из системы может быть доказано в теории, то о самом предложении говорится, что оно опровержимо в ней. Непротиворечивость системы означает, что никакое предложение не может быть в ней и доказано, и вместе с тем опровергнуто. Требование Непротиворечивости является обязательным требованием к научной и, в частности, логической теории. Противоречивая система заведомо несовершенна: наряду с истинными положениями она включает также ложные, в ней что-то одновременно и доказывается, и опровергается. Во многих системах имеет место закон Дунса Скота . В этих условиях доказуемость противоречия означает, что становится доказуемым.
Формальные системы, обладающие этим свойством, называются непротиворечивыми, или формально непротиворечивыми. В противном случае формальная система называется противоречивой, или несовместной.
Для широкого класса формальных систем, язык которых содержит знак отрицания, ¬ эквивалентна свойству: «не существует такой формулы ϕ, что ϕ и ¬ϕ обе доказуемы». Класс формул данной формальной системы называется непротиворечивым, если не всякая формула этой системы выводима из данного класса.
Формальная система называется содержательно непротиворечивой, если существует модель , в которой истинны все теоремы этой системы. Если формальная система содержательно непротиворечива, то она формально непротиворечива.
Для формальных систем, основанных на классическом исчислении предикатов , справедливо и обратное утверждение: в силу теоремы Гёделя о полноте классического исчисления предикатов, всякая такая непротиворечивая система имеет модель. Таким образом, один из способов доказательства непротиворечивости формальной системы состоит в построении модели.
Другой, так называемый метаматематический метод доказательства непротиворечивости, предложенный в начале XX в. Гильбертом , состоит в том, что утверждение о непротиворечивости некоторой формальной системы рассматривается как высказывание о доказательствах, возможных в этой системе. Теория, объектами которой являются произвольные математические доказательства, называется теорией доказательств , или метаматематикой. Примером применения метаматематического метода может служить предложенное Генценом доказательство непротиворечивости формальной системы арифметики.
Любое доказательство непротиворечивости использует средства той или иной математической теории, а потому лишь сводит вопрос о непротиворечивости одной теории к вопросу о непротиворечивости другой. При этом говорят также, что первая теория непротиворечива относительно второй теории. Большое значение имеет вторая теорема Гёделя , которая утверждает, что непротиворечивость формальной теории, содержащей арифметику, невозможно доказать с помощью средств самой рассматриваемой теории .
Наличие логической противоречивости подрывает основу рассуждения, доказательства. теории, поскольку логическая противоречивость является ахиллесовой пятой неправильного рассуждения и учения. Установление логической противоречивости теории или концепции разрушает теорию или концепцию без каких-либо дальнейших аргументов их несостоятельности
Примеры употребления слова непротиворечивость в литературе.
После голосования и оформления вопросного листа присяжные возвращаются в зал судебного заседания, передают вопросный лист председательствующему, который должен его проверить на предмет ясности и непротиворечивости ответов присяжных.
Для исчисления логики отношений программа финитизма Гильберта представляется, таким образом, выполнимой, в частности, вопрос о непротиворечивости этой системы может быть решен средствами, которые в ней же формализуются, поскольку она своей интерпретацией имеет язык логики предикатов.
Поскольку объектом, на котором выполнимы и выполняются принципиально возможные системы аксиом, является объект логики, формальный язык, или формализм, то в этом случае следует признать, что непротиворечивость, независимость, полнота системы аксиом не является присущей им внутренне, но выражает такую сторону их интерпретации, как десигнация.
Сделаем также замечание о том, что полнота системы доказывается той системой, которую она формализует, ее же непротиворечивость доказывается системой, которая формализует ее самое.
Роль логики представляется здесь таковой, что со стороны прагматики найдена та точка зрения, с которой реферируется значение логики как парадокса, переменной математической задачи по поводу общего математического решения проблемы разрешимости, что составит смысл, требующий результатов Геделя, так как теория, таким образом, является для себя и целью и средством, так что ее непротиворечивость может быть установлена формальным языком конструирования этой теории, который с этой целью должен быть эксплицирован средствами прагматики.
В данном случае применяются техники, используемые при обучении пациента максимальной конгруэнтности общения, например, принятие на себя роли режиссера, проверку употребления предикатов, характеризующих репрезентативную систему на непротиворечивость, и т.
Стоило убедиться, что оба представления неизбежны, как от школьного идеала описания природы не сохранялось ничего: бесцельными делались попытки спасти непротиворечивость картины мира.
По меткому замечанию Брауэра, как преступное деяние, не раскрытое правосудием, не становится от этого иным, так и доказательство непротиворечивости математической теории не служит ее обоснованием.
Выражая язык логики предикатов посредством формальной системы и исследуя вопрос о непротиворечивости этой системы, мы выясняем границы приложения концепции языка логики предикатов, указываем пределы, в которых наверняка противоречий не возникает, или, иначе говоря, конструируем смысл, требующий образования понятия логики предикатов.
Фундаментальной теоремой КТМ является теорема об однопорядковости множества такой структуры квадрату, аналогу теоремы о равномощности бесконечного множества своему квадрату и в этом смысле правилом вывода формальной системы арифметики, полной и непротиворечивой, доказательством теоремы Ферма в качестве доказательства непротиворечивости системы формализуемыми в ней средствами.
Этот протокол обеспечивает способ перемещения данных, проверку на непротиворечивость, и повторную передачу в случае ошибки.
Понятие супплиментарности становится опасным и для самой концепции Руссо, где оно оказывается чем-то вроде тупика, выхода на чердак мысли, куда складируются ненужные вещи, концепты, не умещающиеся в теоретической конструкции и потому угрожающие целостности, непротиворечивости и, в конце концов, самому существованию системы Руссо.
Источник: библиотека Максима Мошкова