Что значит "линейный функционал"

обобщение понятия линейной формы на случай бесконечномерных пространств.

обобщение понятия линейной формы на линейные пространства . Линейным функционалом f на линейном нормированном пространстве Е называют числовую функцию f(x), определённую для всех х из Е и обладающую следующими свойствами:

1. f(x) линейна, т. е. f((x + (у) = (f(x) + (f(y),

   где х и у ≈ любые элементы из Е, a и b ≈ числа;

2. f(x) непрерывна.

   Непрерывность f равносильна требованию, чтобы ═было ограничено в Е; выражение ═называют нормой f и обозначают .

   В пространстве С [a, b] функций a(t), непрерывных при a ( t ( b, с нормой ═Л. ф. являются, например, выражения:

   f2[((t)] = ((t0), a ( t0( b.

   В гильбертовом пространстве Н Л. ф. суть скалярные произведения (l, х), где l ≈ любой фиксированный элемент пространства Н; ими исчерпываются все Л. ф. этого пространства.

   Во многих задачах можно из общих соображений установить, что та или иная величина является Л. ф. Например, к Л. ф. приводит решение линейных дифференциальных уравнений с линейными краевыми условиями. Поэтому очень существенным является вопрос об общем аналитическом выражении Л. ф. в разных пространствах.

   Совокупность всех Л. ф. данного пространства Е превращается в линейное нормированное пространство , если определить естественным образом сложение Л. ф. и умножение их на числа. Пространство ═называют сопряжённым к ; это пространство играет большую роль при изучении Е.

   С понятием Л. ф. связано понятие слабой сходимости. Последовательность {xn} элементов линейного нормированного пространства называют слабо сходящейся к элементу х, если

   для любого Л. ф. f. См. также Функциональный анализ .

Линейный функционал — функционал , обладающий свойством линейности по своему аргументу:

$\Phi[\mathbf f+\mathbf g] = \Phi[\mathbf f] + \Phi[\mathbf g]$ $\Phi[c\ \mathbf f] = c\ \Phi[\mathbf f]$

где Φ — линейный функционал, $\mathbf f$ и $\mathbf g$ — функции из его области определения, c — число .

Иными словами, это линейное отображение из пространства функций во множество чисел — чаще всего подразумеваемых вещественными, или, еще иначе, линейный оператор , действующий из пространства функций в $\mathbb R$ (иногда в $\mathbb C$ ).

Линейные функционалы играют особую роль в функциональном анализе .

• Как и вообще термин "функционал", термин "линейный функционал" употребляется и вообще для аргументов из векторных пространств — в смысле линейного отображения из какого-то векторного пространства в его пространство скаляров , то есть — в этом употреблении — его аргументом может быть не обязательно функция.

• Линейный функционал является аналогом оператора проецирования для бесконечномерных пространств , а также применяется как обобщающий термин, покрывающий равно случаи конечномерных и бесконечномерных пространств.

• Одним из важнейших примеров линейного функционала служит скалярное произведение с фиксированной функцией :

$\Phi[\mathbf f] = \int_\Omega f(x) \phi(x) d\Omega$

.

• Такие линейные функционалы, представляющие скалярное произведение $\mathbf f$ с каждой из базисных функций полного набора, дают прямое преобразование Фурье .