Что значит "дробно-линейная функция"

частное двух линейных функций, т.е. функция вида y = (ах + b)/(сх + d). Если ad - bc No 0 и с No 0, график дробно-линейной функции равнобочная гипербола.

функция вида

т. е. частное двух линейных функций. Д.-л. ф. ≈ простейшая среди рациональных функций . При ad ≈ bc = 0 она сводится к тождественной постоянной; если ad ≈ bc ¹ 0, но с = 0, то Д.-л. ф. сводится к целой линейной функции у = aх + b. Т. о., интерес представляет лишь случай, когда ad ≈ bc ¹ 0 и с ¹ 0; графиком Д.-л. ф., когда х принимает действительные значения, является равнобочная гипербола .

Если х принимает произвольные комплексные значения (а, b, с и d ≈ фиксированные комплексные числа), то Д.-л. ф. осуществляет взаимно однозначное и конформное отображение комплексной плоскости (пополненной точкой ¥) на себя, называемое дробно-линейным отображением (это единственная аналитическая функция, обладающая указанным свойством). Д.-л. ф. характеризуется также тем, что она переводит прямые и окружности, лежащие в комплексной плоскости, снова в прямые и окружности. Всякое конформное отображение внутренности круга на себя осуществляется при помощи Д.-л. ф. Двойное отношение четырёх точек

является инвариантом Д.-л. ф. Иными словами, если Д.-л. ф. переводит x1 в y1, x2 в y2, x3 в у3 и x4 в y4, то

Лит.: Маркушевич А. И., Краткий курс теории аналитических функций, 3 изд., М., 1966; Привалов И. И., Введение в теорию функций комплексного переменного, 11 изд., М., 1967.

С. Б. Стечкин.

Дробно-линейная функция — функция вида

$$f(z_1,z_2,...,z_n)=\frac{a_1z_1+a_2z_2+\cdots+a_nz_n+b}{c_1z_1+c_2z_2+\cdots+c_nz_n+d}$$
где z = (z, ..., z) — комплексные или вещественные переменные, a, b, c, d — комплексные или вещественные коэффициенты.

Часто термин «дробно-линейная функция» используется для её частного случая — преобразования Мёбиуса .