Что значит "дифференцируемая функция"

в точке (математическая), функция, имеющая дифференциал в этой точке. Для функций одного переменного это требование равносильно существованию производной. См. Дифференциальное исчисление .

Дифференци́руемая фу́нкция — это функция , у которой существует дифференциал . Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках.

Приращение дифференцируемой в данной точке функции можно представить как линейную функцию приращения аргумента с точностью до величин более высокого порядка малости. Это означает, что для достаточно малых окрестностей данной точки функцию можно заменить линейной . Линейная часть приращения функции называется её дифференциалом .

Необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости является непрерывность функции . В случае функции от одной вещественной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной . В случае функции нескольких вещественных переменных необходимым условием дифференцируемости является существование частных производных по всем переменным. Для дифференцируемости функции нескольких переменных в точке достаточно, чтобы частные производные существовали в некоторой окрестности рассматриваемой точки и были непрерывны в данной точке.

В случае функции комплексной переменной дифференцируемость в точке часто называется моногенностью и существенно отличается от понятия дифференцируемости в вещественном случае. Ключевую роль в этом играет так называемое условие Коши — Римана . Функция, моногенная в окрестности точки, называется голоморфной в этой точке.

В функциональном анализе существует обобщение понятия дифференцирования на случай отображений бесконечномерных пространств — производные Гато и Фреше .