Толковый словарь русского языка. С.И.Ожегов, Н.Ю.Шведова.
БАЮ-БАЮШКИ-БАЮ и БАЮШКИ-БАЮ, межд. То же, что бай2.
Примеры употребления слова баю-бай в литературе.
Баю-бай, тюльпанчик мой, Барс рычит во тьме ночной, Старый барс, беззубый дед Съел осла с седлом в обед.
Я отрицательно помотал головой и еще крепче прижал к себе ее худенькое девчоночье тело, а она свернулась калачиком, подтянула ноги, - можно было баюкать ее как дитя: баю-бай.
Сквозь нее на Гену полетели какие-то разноцветные звезды, и все окна картинок сменил скрин-сейвер сна, -- стенд бай, Гена, баю-бай, Гена, бай, Гена, бай.
Источник: библиотека Максима Мошкова