Значение слова суммирование

ср. Процесс действия по знач. несов. глаг.: суммировать.

расходящихся рядов и интегралов, построение обобщённой суммы ряда (соответственно значения интеграла ), не имеющего обычной суммы (соответственно значения). Расходящиеся ряды могут получаться при перемножении условно сходящихся рядов, при разложении функций в ряд Фурье, при дифференцировании и интегрировании функциональных рядов и т. д. Часто встречаются расходящиеся ряды и интегралы в теории электромагнитного поля и др. вопросах современной физики. Во многих случаях расходящиеся ряды и интегралы можно просуммировать, то есть найти для них сумму (значение) в обобщённом смысле, обладающую некоторыми из основных свойств обычной суммы (значения) сходящегося ряда (интеграла). Обычно требуется, чтобы из того, что ряд ═суммируется к S, а ряд ═суммируется к Т, следовало, что ряд ══суммируется к lS + lT, а ряд ═суммируется к S ≈ ао. Кроме того, чаще всего рассматриваются регулярные методы С., то есть методы, суммирующие каждый сходящийся ряд к его обычной сумме. В большинстве методов С. расходящийся ряд рассматривается в известном смысле как предел сходящегося ряда. А именно, каждый член ряда ════════(

1. умножается на некоторый множитель ln (t) так, чтобы после умножения получился сходящийся ряд

   ═(

2. с суммой d(t). При этом множители ln (t) выбираются так, чтобы при каждом фиксированном n предел ln (t) при некотором непрерывном или дискретном изменении параметра t равнялся 1. Тогда члены ряда (2) стремятся к соответствующим членам ряда (1). Если при этом d(t) имеет предел, то его называют обобщённой суммой данного ряда, соответствующей данному выбору множителей (данному методу С.). Например, если положить ln (t) = 1 При n £ t и ln (t) = 0 при n > t ═и брать t ╝ ¥, то получится обычное понятие суммы ряда; при ln (t) = tn для t < 1 и════════t ╝ 1 получается метод Абеля ≈ Пуассона. Часто указывается не результат умножения членов ряда на ln (t), а соответствующие изменения частичных сумм ряда. Например, в методе средних арифметических Чезаро полагают

   ,

   где

   , .

   Этот метод соответствует выбору ln (m) = (m - n + 1)/(m + 1) при n £ m и ln (m) = 0 при n > m. Если положить

   , ,

   , ,

   и если существует , то говорят, что ряд суммируется к А методом Чезаро k-го порядка. С ростом k возрастает сила метода Чезаро, то есть расширяется множество рядов, суммируемых этим методом. Всякий ряд, суммируемый методом Чезаро какого-либо порядка, суммируется и методом Абеля ≈ Пуассона и притом к той же сумме. Например, ряд 1≈ 1 + 1 ≈... + (≈1) n-1 +... суммируется методом Абеля ≈ Пуассона к значению 1/2, так как

   , .

   Метод Чезаро даёт то же значение, так как

   s2n= 1, s2n+l = 0, s2n = (n + 1)/(2n + 1),

   s2n+1 = 1/2, .

   Методы Чезаро и Абеля ≈ Пуассона применяются в теории тригонометрических рядов для нахождения функции по её ряду Фурье, так как ряд Фурье любой непрерывной функции суммируется к этой функции методом Чезаро первого порядка, а тем самым и методом Абеля ≈ Пуассона. В 1901 Г. Ф. Вороной предложил метод С., частными случаями которого являются все методы Чезаро. Пусть pn ³ 0, p0= 0, ; обобщённой суммой ряда, по Вороному, называется предел

   .

   Метод Вороного регулярен, если

   .

   В 1911 немецкий математик О. Теплиц нашёл необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять треугольная матрица ||атn|| (где атn = 0 при n > m) для того, чтобы метод С., определяемый формулой , был регулярен. Польский математик Х. Штейнхауз обобщил эти условия на случай квадратных матриц.

   В теории аналитических функций важную роль играет метод суммирования Бореля, позволяющий аналитически продолжить функцию, заданную степенным рядом, за границу круга сходимости. Важный метод С. тригонометрических рядов был предложен С. Н. Бернштейном и немецким математиком В. Рогозинским. Бернштейн использовал этот метод для получения сходящихся интерполяционных процессов.

   Теория С. расходящихся интегралов аналогична теории С. расходящихся рядов. Например, если интеграл

   расходится и существует предел

   ,

   то говорят, что первый интеграл суммируем к А методом Чезаро порядка l.

   Лит.: Харди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., [2 изд.], т. 1≈2, М., 1965; Титчмарт Е., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М.≈ Л., 1948; Вари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961.