Энциклопедический словарь, 1998 г.
см. Арифметическое среднее, Гармоническое среднее, Геометрическое среднее, Квадратичное среднее.
Большая Советская Энциклопедия
средние значения, числовая характеристика группы чисел или функций. 1) Средним для данной группы чисел x1, x2,..... xn называется любое число, заключённое между наименьшим и наибольшим из них. Наиболее употребительными С. являются: арифметическое среднее , геометрическое среднее , ══ гармоническое среднее , ══ квадратичное среднее . Если все числа xi (i = l,2,..., n) положительны, то можно для любого a ¹ 0 определить степенное С. частными случаями которого являются арифметическое, гармоническое и квадратичное С., именно: s (а равняется a, h и q соответственно при a = 1, ≈1 и 2. При a ╝ 0 степенное С, sa стремится к геометрическому С., так что можно считать s0 = g. Важную роль играет неравенство sa £ sb, если a £ b, в частности h £ g £ a £ q. Арифметическое и квадратичное С. находят многочисленные применения в теории вероятностей, математической статистике, при вычислении по методу наименьших квадратов и др. Указанные выше С. могут быть получены из формулы , где f-1(h) ≈ функция, обратная к f (x) (см. Обратная функция ), при соответствующем подборе функции f (x). Так, арифметическое С. получается, если f(x) = x, геометрическое С. ≈ если f (x) = log x, гармоническое С. ≈ если f (x) = 1/x, квадратичное С. ≈ если f (x) = x2. Наряду со степенными С. рассматривают взвешенные степенные С. в частности при a = 1, , которые переходят в обыкновенные степенные С. при р1 = р2 =... = pn. Взвешенные С. особенно важны при математической обработке результатов наблюдений (см. Наблюдений обработка ), когда различные наблюдения производятся с разной точностью (с разным весом). 2) Арифметико-геометрическое среднее. Для пары положительных чисел а и b составляются арифметическое С. a1 и геометрическое С. g
-
Затем для пары a1, g1 снова находятся арифметическое С. a2 и геометрическое С. g2 и т.д. Общий предел последовательностей an и gb, существование которого было доказано К. Гауссом , называется арифметико-геометрическим С. чисел а и b; он важен в теории эллиптических функций.
3) Средним значением функции называется любое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. В дифференциальном и интегральном исчислении имеется ряд «теорем о среднем», устанавливающих существование таких точек, в которых функция или её производная получает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о С. в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если f (x) непрерывна на отрезке [а, b] и дифференцируема в интервале (а, b), то существует точка с, принадлежащая интервалу (а, b), такая, что f (b) ≈ f (a) = (b≈a) f▓(c). В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о С. является следующая: если f (x) непрерывна на отрезке [а, b], а j(x) сохраняет постоянный знак, то существует точка с из интервала (а, b) такая, что
.
В частности, если j(x) = 1, то
.
Вследствие этого под средним значением функции f (x) на отрезке [а, b] обычно понимают величину
.
Аналогично определяют среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.
Примеры употребления слова средние в литературе.
Он был недоволен тем, что в силу привилегий, пожалованных духовным лицам в Средние века, десятки тысяч их избегают податей и государственной службы и в то же время прибирают к рукам добрую часть богатства страны в форме барщины и оброка.
Причины тугоухости: хронические гнойные средние отиты и воспаления слуховой трубы, соединяющей полости среднего уха и носоглотки, отосклероз и склероз барабанной перепонки, заращение слухового прохода, аномалии развития среднего уха, последствия воспаления внутреннего уха, поражения слухового нерва, проводящих путей и слуховой области коры головного мозга, старческая тугоухость.
В средние века туркменских всадников можно было большей частью встретить на службе у хивинского и бухарского ханов, а часто и под персидскими знаменами.
В отношении истории среднеазиатских ханств в новое время суждение Вамбери неверно, хотя, конечно Ферганская долина и расположенные в ней города имеют большое и славное прошлое и были известны в средние века и даже в древности.
Напротив, в 1997 году средние ежедневные колебания цен закрытия рынка составили 79,0 пункта при среднем значении индекса в 7639 пунктов.
На другом конце шкалы число людей, чьи доходы в три раза превышают средние, почти удвоилось -- с 600 тыс.
С каждым новым шагом прогресса оно снижалось уже постольку, поскольку, с одной стороны, низшие слои общества улучшали свое материальное положение, отодвигавшее их от грани, за которой возникала угроза физическому выживанию, и, с другой стороны, между высшими и низшими классами возникали средние слои, усиливающие свою роль и значение.
Наше исследование значения свободы для современного человека мы начнем с анализа той обстановки, которая существовала в Европе в средние века и в начале Нового времени.
Современный рационализм рассматривал средние века как мрачный период истории.
Средние эксцентриситеты орбит его частей должны были бы сильно отличаться от средних эксцентриситетов соседних орбит, а средние наклонения орбит его частей должны были бы также сильно отличаться от средних наклонений соседних орбит.
Кроме того, гипотеза эта согласуется с открытием группы из 13 комет, причем 12 из них имеют средние расстояния, приходящиеся внутри пояса планетоидов, имеют соответствующие им периоды обращения, одни и те же прямые направления и связаны с роем метеоров и с метеорными потоками.
К другим причинам относятся острые и хронические гнойные средние отиты, травмы и опухоли среднего уха и наружного слухового прохода.
Помимо князей, единственными землевладельцами северо-восточной Руси в средние века были духовенство и бояре.
В экономических обстоятельствах, господствовавших в России в Средние века и в начале Нового времени, институт частной собственности не мог устойчиво опереться ни на обычай, ни закон, а незнание римского права делалось серьезным препятствием для внесения этого института со стороны.
Как и многое другое, он появился в средние века как побочный продукт феодализма.
Источник: библиотека Максима Мошкова