Большая Советская Энциклопедия
целые трансцендентные функции , введённые К. Вейерштрассом при построении им своей теории эллиптических функций. Основной из четырёх С.-ф. является функция
где w = 2mw1 + 2nw2, w1 и w2 ≈ два числа, отношение которых не является вещественным, а m и n независимо друг от друга пробегают все положительные и отрицательные целые числа, кроме m = n = 0. Функция s(z) имеет простые нули при z = w, т. е. в вершинах параллелограммов, образующих правильную решётку на плоскости z; эти параллелограммы получаются из основного параллелограмма с вершинами в точках 0, 2w1, 2w2, 2 (w1 + w2) параллельными переносами вдоль его сторон.
При помощи функции s(z) могут быть определены дзета-функция x(z) и эллиптическая функция Ã(z) Вейерштрасса:
, .
Обозначим w3 = - w1 - w2, x(wk) = hk, k =1, 2, 3. Формулы
, k = 1, 2, выражают свойство квазипериодичности функции s(z). Равенства
, k = 1, 2, 3,
определяют остальные три С.-ф. Имеем s(0) = 0, sk (0) = 1, k = 1, 2, 3. Функция s(z) является нечётной, а три остальные С.-ф. ≈ чётные.
Любая эллиптическая функция f (z) с периодами 2w1 и 2w2 может быть рационально выражена через С.-ф. по формуле
,
где С ≈ постоянная, a1,..., cr и b1,..., br ≈ соответственно полные системы нулей и полюсов функции f (z), удовлетворяющие условию a1 +... + ar = b1 +... + br.
С.-ф. тесно связаны с тэта-функциями .
Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М., 1969; Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. [с нем.], М., 1968; Уиттекер Э. Т. и Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.