Значение слова многообразие

многообразия, мн. нет, ср. (книжн.). Множественность проявлений чего-н., форм обнаружения чего-н. Многообразие форм в природе. Многообразие явлений.

ср.

1. Проявление чего-л. в различных видах и формах; различие видов и форм существования, проявления чего-л.

2. Разнообразие, обилие чего-л. различного.

математическое понятие, уточняющее и обобщающее на любое число измерений понятия линии и поверхности, не содержащих особых точек (т.е. линии без точек самопересечения, концевых точек и т.п., поверхности без самопересечения, краев и т.п.).

математическое понятие, уточняющее и обобщающее на любое число измерений понятия линии и поверхности, не содержащих особых точек (т. e. линии без точек самопересечения, концевых точек и т. п. и поверхности без самопересечений, краев и т. п.).

Примером одномерного М. могут служить прямая, парабола, окружность, эллипс, вообще любая линия, у каждой точки которой существует окрестность, являющаяся взаимно однозначным и непрерывным (или, как говорят в топологии, гомеоморфным) образом интервала (внутренней части отрезка прямой). Интервал сам является одномерным М., отрезок же не является М. (так как концы его не имеют окрестностей указанного вида).

Примером двумерного М. может служить любая область на плоскости (например, внутренность круга x2 + y2 < r2), сама плоскость, параболоид, сфера, эллипсоид, тор и т. п. Двумерные М. характеризуются тем, что у каждой их точки имеется окрестность, гомеоморфная внутренности круга. Это требование исключает, например, из числа двумерных М. коническую поверхность (её вершина, в которой сходятся две её полости, не имеет требуемого вида окрестности). Однако выделяют специальный класс объектов, которые не удовлетворяют этому требованию, ≈ т. н. многообразия с краем (например, замкнутый круг x2 + y2 £ r2).

Примером трёхмерного М. может служить обычное евклидово пространство, а также любое открытое множество в евклидовом пространстве. Трёхмерные М. характеризуются тем, что у каждой их точки имеется окрестность, гомеоморфная внутренности шара.

М. разделяются на замкнутые и открытые (определение см. ниже). В случае одного измерения каждое замкнутое М. гомеоморфно окружности, а каждое открытое ≈ прямой (на рис. 1 изображены одномерные М. и окрестности точки Р на каждом из них). В случае двух измерений уже замкнутые М. довольно разнообразны. Они распадаются на бесконечное число топологических типов: сфера ≈ поверхность рода 0 (рис. 2, а), тор ≈ поверхность рода 1 (рис. 2, б), «крендель» ≈ поверхность рода 2 (рис. 2, в), вообще «сфера с n ручками» ≈ поверхность рода n (на рис. 2, г изображена такая поверхность при n = 3). Этими примерами исчерпываются все топологические типы замкнутых двумерных ориентируемых М. (см. также Ориентируемая поверхность ). Существует ещё бесконечное число замкнутых двумерных неориентируемых М. ≈ односторонних поверхностей, например проективная плоскость , т. н. односторонний тор ( Клейна поверхность ). Имеется и классификация открытых двумерных М. Полная классификация М. трёх измерений не найдена (1974) (даже для случая замкнутых М.).

Многообразием n измерений (или n-мерным многообразием) называется всякое хаусдорфово топологическое пространство , обладающее следующим свойством: каждая его точка имеет окрестность, гомеоморфную внутренности n-мерного шара, и всё пространство может быть представлено в виде суммы конечного или бесконечного (счётного) множества таких окрестностей. М. называется замкнутым, если оно компактно (см. Компактность ), в противном случае ≈ открытым. Иногда к определению М. прибавляют ещё требование его связности: каждые две точки М. могут быть в нём соединены непрерывной дугой.

Введение в математику понятия М. любого (натурального) числа измерений n было вызвано весьма разнообразными потребностями геометрии, математического анализа, механики и физики. Важность достаточной широты понимания М. как топологического пространства основана на том, что точками так определённых М. могут быть объекты любой природы, например прямые, сферы, матрицы и т. д.

При надлежащем добавлении требований к определению М. устанавливается понятие гладкого, или дифференцируемого, многообразия. На гладком М. имеется возможность рассматривать дифференцируемые функции и дифференцируемые отображения в себя или в другие гладкие М. Гладкие М. имеют особенно большое значение в современной математике, поскольку именно они наиболее широко используются в приложениях и смежных областях (например, конфигурационные пространства и фазовые пространства в механике и физике). На гладких М. можно ввести метрику , превратив его в риманово пространство . Это позволяет строить дифференциальную геометрию на М. Например, введя некоторым образом метрику в конфигурационном пространстве механической системы, можно истолковать траектории движения как геодезические линии в этом пространстве (см. Наименьшего действия принцип ). М., для элементов которого определено (дифференцируемое) умножение, превращающее М. в группу, называется группой Ли (см. Непрерывная группа ).

Понятие М. играет большую роль в теории алгебраических функций, непрерывных групп и т. д. Во всех этих приложениях существенны свойства М., не изменяющиеся при топологических преобразованиях, ≈ т. н. топологические свойства. К ним относятся, например, ориентируемость или неориентируемость М. (см. Ориентация ). Изучение этих свойств является одной из важнейших задач топологии.

Лит.: Александров П. С. и Ефремович В. А., Очерк основных понятий топологии, М. ≈ Л., 1936; Александров П. С., Комбинаторная топология, М. ≈ Л., 1947; Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967.

Н. В. Ефимов.

Многообра́зие (топологическое многообразие) — хаусдорфово топологическое пространство со счётной базой , каждая точка которого обладает окрестностью, гомеоморфной евклидову пространству $\R^n$, иными словами, пространство, локально сходное с евклидовым . Число n называется размерностью топологического многообразия. Евклидово пространство является самым простым примером многообразия. Более сложным примером может служить поверхность Земли : возможно сделать карту какой-либо области земной поверхности, например карту полушария, но невозможно составить единую карту всей её поверхности.

Исследования многообразий были начаты во второй половине XIX века , они естественно возникли при изучении дифференциальной геометрии и теории групп Ли . Тем не менее, первые точные определения были сделаны только в 30-х годах XX века .

Обычно рассматриваются так называемые гладкие многообразия, то есть те, на которых есть выделенный класс «гладких» функций — в таких многообразиях можно говорить о касательных векторах и касательных пространствах. Для того, чтобы измерять длины кривых и углы, нужна ещё дополнительная структура — риманова метрика .

В классической механике основным многообразием является фазовое пространство . В общей теории относительности четырёхмерное псевдориманово многообразие используется как модель для пространства-времени .

Многообразие — многозначный термин, используемый в математике.