Википедия
S-преобразование — аппроксимационно-операционный метод моделирования динамических систем целого и дробного порядков.
Операционные методы нашли широкое распространение при исследовании динамических систем. Наибольшую известность и применение получили преобразования Лапласа , Фурье , Z-преобразование , дифференциальные преобразования Пухова. Характерной особенностью всех операционных методов является такое преобразование сигналов и переменных интегро-дифференциальной математической модели динамической системы, при котором формируется алгебраическая модель системы, производится решение задачи, и на основе которых путем обратного операционного преобразования определяются решения исходной математической модели. Развитие фрактальных динамических систем, математическими моделями которых являются интегро-дифференциальные уравнения нецелых порядков, привело к необходимости создания и применения новых операционных методов, которые были бы применимы как к классическим динамическим системам целого порядка, так и к фрактальным системам. Одним из таких методов является метод, получивший название S-преобразования. Метод основан на использовании полиномиальной аппроксимации в качестве операционного исчисления.
Как известно, полиномиальной аппроксимацией сигнала x(t) с системой базисных функций S(t) = {s(t), s(t), ..., s(t)}, заданных на одном и том же интервале 0 ≤ t < T изменения аргумента, является обобщенный полином x(t):
x(t) = ∑X × s(t)
Вектор коэффициентов аппроксимирующего полинома X = {X, X, ..., X}определяется из условия минимизации интеграла квадрата функции ошибки: μ(X) = ∫(x(t) − x(t)) × dt → min ,
путем решения системы линейных алгебраических уравнений: $\mathbf X = \mathbf W^{-1} \cdot \mathbf Q$
Операционный характер приведенных выражений становится более очевидным, если их записать в следующем виде:
=
Первое из этих выражений сопоставляет сигналу x(t) в пространстве оригиналов его изображение в пространстве изображений в виде вектора X коэффициентов аппроксимирующего полинома. Последнее выражение является обратным преобразованием и восстанавливает сигнал в пространстве оригиналов в виде аппрокси-мации.
В качестве систем базисных функций может использоваться широкий набор линейно независимых функций, обладающих функциональной полнотой. Каждая из таких систем порождает свою версию S-преобразования. Ниже приведен вид выражений интеграла дробного порядка (известный под названием Интеграл Римана-Лиувилля) и его операционного аналога (операционная матрица дробного интегрирования :
xd,
,
.
Приведенные выражения интеграла Римана — Лиувилля и операционной матрицы интегрирования характерны тем, что при подстановке вместо β целых значений порядка интегрального оператора получаются формулы обычного интеграла целого порядка с переменным верхним пределом и его операционного аналога.
См. так же: преобразование Лапласа, преобразование Фурье, Z- преобразование, дифференциальные преобразования Пухова, интегральные преобразования, операционное исчисление, дробное исчисление.
Литература
1. Васильев В. В., Симак Л. А. Дробное исчисление и аппроксимационные методы в моделировании динамических систем, НАН Украины, 2008. — 256 с.
2. В. В. Васильев , Л. А. Симак, А. В. Васильев Операционное исчисление аппроксимационного типа: Применение к цифровой обработке сигналов и моделированию динамических систем дробного порядка // «Электронное моделирование», 2016,т. 38, № 4. — 20 с.
3. А. В. Васильев Математические модели ПИД-контроллеров динамических систем целого и дробного порядков на основе S — преобразования // «Информационные и телекоммуникационные технологии», 2013. № 17.- С.21-26.