Большая Советская Энциклопедия
Штурма ≈ Лиувилля задача, задача о нахождении отличных от нуля решений дифференциального уравнения -[p (x) y"]" + q (x) y = ly, (
-
удовлетворяющих граничным условиям вида
A1y (a) + B1y"(a) =0, А2у (b) + B2y"(b) = 0
(т. н. собственных функций ), а также о нахождении значений параметра l (собственных значений), при которых существуют такие решения. При некоторых условиях на коэффициенты р (х), q (x) Ш.≈Л. з. можно свести к рассмотрению аналогичной задачи для уравнения вида
-y" + q (x) y = ly. (
-
Была впервые (1837≈41) исследована Ж. Лиувиллем и Ж. Ш. Ф. Штурмом .
Решение некоторых видов уравнений математической физики методом Фурье приводит к Ш.≈ Л. з. Например, задача о колебаниях однородной струны, закрепленной на концах, приводит к Ш.≈ Л. з. для уравнения ≈у" = lу с граничными условиями y (0) = y (p) = 0. В этом случае существует бесконечная последовательность значений 12, 22,..., n2,..., которым соответствуют собственные функции sinnx, образующие на отрезке [0, p] полную ортогональную систему функций (см. Ортогональная система функций ). Аналогично обстоит дело и в общем случае, возникающем, например, при изучении распространения тепла в неоднородном стержне и т.д. И здесь, если функция q (x) в уравнении (2) непрерывна и действительна на отрезке [a, b], a A1, B1, A2, B2 ≈ действительные числа, существует возрастающая последовательность действительных собственных значений l1,..., lп,..., стремящаяся к бесконечности, причём каждому из lп соответствует определённая с точностью до постоянного множителя собственная функция jп (х), имеющая n нулей на участке а < х < b. Функции jп (х) образуют на [а, b] полную ортогональную систему функций [для уравнения (1) имеет место ортогональность с весом р (х)]. Полнота такой системы функций была доказана В. А. Стекловым в 1896. Весьма общие теоремы о разложении функций в ряды Фурье по системе jп (х) доказал Д. Гильберт (1904) с помощью теории линейных интегральных уравнений. При возрастании п собственные значения и собственные функции Ш.¾ Л. з. для уравнения (2) стремятся к собственным значениям и собственным функциям для уравнения ≈у" = lу при тех же граничных условиях. Большинство встречающихся в математике ортогональных систем функций, например, многочлены Лежандра, многочлены Эрмита, являются системами собственных функций некоторых Ш.≈ Л. з.
Иногда Ш.≈ Л. з. называют краевую задачу для уравнения (1) при более общих краевых условиях:
aiy (а) + biy"(а) + giy (b) + diy"(b) = 0, i = 1, 2,
где ai, bi, gi, di ≈ постоянные числа. Среди краевых условий такого вида наиболее важными являются у (а) = у (b), y"(a)=y"(b) (периодические условия) и у (а)= ≈у (b), у"(а) = ≈y"(b) (полупериодические условия).
Многие задачи математической физики (например, задача о распространении тепла в бесконечном неоднородном стержне) приводит к Ш.≈ Л. з. на полуоси или на всей оси. В 1-м случае рассматриваются решения уравнения (2), удовлетворяющие условию A1y (0)+B1y"(0) = 0; вместо последовательности собственных функций здесь появляется совокупность собственных функций j(х, l), зависящих от непрерывно изменяющегося параметра l. Вместо разложения в ряды Фурье рассматриваются разложения вида
,
где r(l) ≈ некоторая неубывающая функция. Эти разложения аналогичны Фурье интегралу . При этом
и
.
Аналогичные факты имеют место и для Ш.≈ Л. з. на всей оси. Для некоторых задач математической физики важное значение имеет обратная Ш.≈Л. з., т. е. задача о восстановлении дифференциального уравнения по функции r(l). Эта задача была поставлена в частном случае В. А. Амбарцумяном , а в более общем случае швед. математиком Г. Бортом и решена М. Г. Крейном, И. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном.
Ш.≈ Л. з. возникает также в некоторых вопросах квантовой механики и вариационного исчисления.
Лит.: Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики, пер. с нем., 3 изд., т. 1, М.≈ Л., 1951; Сансоне Дж., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с итал., т. 1, М., 1953; Левитан Б. М., Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка, М.≈ Л., 1950.