Что значит "цилиндрические функции"

решения уравнения Бесселя; возникают при исследовании физических процессов (теплопроводности, диффузии, колебаний) в областях с круговой или цилиндрической симметрией.

весьма важный с точки зрения приложений в физике и технике класс трансцендентных функций , являющихся решениями дифференциального уравнения: ═══(

1. где n ≈ произвольный параметр. К этому уравнению сводятся многие вопросы равновесия (упругого, теплового, электрического) и колебаний тел цилиндрической формы. Решение, имеющее вид:

   [где Г (z) ≈ гамма-функция ; ряд справа сходится при всех значениях х], называется Ц. ф. первого рода порядка n. В частности, Ц. ф. нулевого порядка имеет вид:

   Если n ≈ целое отрицательное: n = ≈ n, то Jn(x) определяется так:

   J-n (x) = (≈ 1) n Jn(x).

   Ц. ф. порядка n = m+ 1/2, где m ≈ целое число, сводится к элементарным функциям, например:

   ,

   Функции Jn(x) и уравнение (1) называют также по имени Ф. Бесселя ( Бесселя функции , Бесселя уравнение ). Однако эти функции и уравнение (1) были получены ещё Л. Эйлером при изучении колебаний мембраны в 1766, т. е. почти за 50 лет до работ Бесселя; функция нулевого порядка встречается ещё раньше в работе Д. Бернулли , посвященной колебанию тяжёлой цепи (опубликована в 1738), а функция порядка 1/3 в письме Я. Бернулли к Г. Лейбницу (1703).

   Если n не является целым числом, то общее решение уравнения (1) имеет вид

   y = C1Jn(x) + C2J-n(x),═══(

2. где C1 и C2═≈ постоянные. Если же n ≈ целое, то Jn(x) и J-n(x) линейно зависимы, и их линейная комбинация (2) уже не является общим решением уравнения (1). Поэтому, наряду с Ц. ф. первого рода, вводят ещё Ц. ф. второго рода (называемые также функциями Вебера):

   При помощи этих функций общее решение уравнения (1) может быть записано в виде

   у = C1Jn(x) + C2Yn(x)

   (как при целом, так и при нецелом n).

   В приложениях встречается также Ц. ф. мнимого аргумента═

   и

   (функция Макдональда). Эти функции удовлетворяют уравнению

   общее решение которого имеет вид

   y = C1ln(x) + C2Kn(x)

   (как при целом, так и нецелом n). Часто употребляются ещё Ц. ф. третьего рода (или функции Ганкеля)

   ,

   а также функции Томсона ber (х) и bei (x), определяемые соотношением

   ber (x) + i bei (x) = I0(x ).

   Важную роль играют асимптотические выражения Ц. ф. для больших значений аргумента:

   ,

   ,

   ,

   ,

   из которых, в частности, вытекает, что Ц. ф. Jn(x) и Yn(x) имеют бесконечное множество действительных нулей, расположенных так, что вдали от начала координат они как угодно близки к нулям функций, соответственно,

   ═и

   Ц. ф. изучены очень детально и для комплексных значений аргументов. Для вычислений существует большое число таблиц Ц. ф.

   Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М., 1969; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, пер. с англ., ч. 1≈2, М., 1949; Бейтмен Г., Эрдей А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., т. 2, М., 1974.

Цилиндри́ческие фу́нкции — общее название для специальных функций одного переменного, являющихся решениями обыкновенных дифференциальных уравнений , получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики , таких как уравнение Лапласа , уравнение Пуассона , уравнение Гельмгольца и др. в цилиндрической системе координат . Обычно переменной является расстояние до оси с.к. Произведение цилиндрических функций с гармоническими функциями по другим направлениям даёт цилиндрические гармоники .

Наиболее часто встречающиеся цилиндрические функции:

• Функции Бесселя
  • первого рода, ограниченные
  • второго рода , неограниченные в нуле
• Функции Ганкеля первого и второго рода — комплексные линейные комбинации функций Бесселя и Неймана
• Модифицированные функции Бесселя — функции Бесселя от комплексного аргумента, неограниченные монотонные.
  • первого рода (т. н. « функции Инфельда »)
  • второго рода (т. н. « функции Макдональда »)
• Функция Бурже — обобщение интегрального представления функции Бесселя
• Частные решения неоднородного уравнения Бесселя:
  • Функция Ангера
  • Функция Вебера
  • Функция Струве
  • Функция Ломмеля
• Функции параболического цилиндра
• Функции Кельвина