Большая Советская Энциклопедия
Функциональный анализ, часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание методов классического анализа, топологии и алгебры. Абстрагируясь от конкретных ситуаций, удаётся выделить аксиомы и на их основе построить теории, включающие в себя классические задачи как частный случай и дающие возможность решать новые задачи. Сам процесс абстрагирования имеет самостоятельное значение, проясняя ситуацию, отбрасывая лишнее и открывая неожиданные связи. В результате удаётся глубже проникнуть в сущность математических понятий и проложить новые пути исследования. Развитие Ф. а. происходило параллельно с развитием современной теоретической физики, при этом выяснилось, что язык Ф. а. наиболее адекватно отражает закономерности квантовой механики, квантовой теории поля и т.п. В свою очередь эти физические теории оказали существенное влияние на проблематику и методы Ф. а.
-
Возникновение функционального анализа. Ф. а. как самостоятельный раздел математики сложился на рубеже 19 и 20 вв. Большую роль в формировании общих понятий Ф. а. сыграла созданная Г. Кантором теория множеств. Развитие этой теории, а также аксиоматической геометрии привело к возникновению в работах М. Фреше и Ф. Хаусдорфа метрической и более общей т. н. теоретико-множественной топологии, изучающей абстрактные пространства, т. е. множества произвольных элементов, для которых установлено тем или иным способом понятие близости.
Среди абстрактных пространств для математического анализа и Ф. а. оказались важными функциональные пространства (т. е. пространства, элементами которых являются функции ≈ откуда и название «Ф. а.»). В работах Д. Гильберта по углублению теории интегральных уравнений возникли пространства l2и L2(a, b) (см. ниже). Обобщая эти пространства, Ф. Рис изучил пространства lp и Lp (a, b), а С. Банах в 1922 выделил полные линейные нормированные пространства (банаховы пространства). В 1930≈40-х гг. в работах Т. Карлемана , Ф. Риса, американских математиков М. Стоуна и Дж. Неймана была построена абстрактная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве.
В СССР первые исследования по Ф. а. появились в 30-х гг.: работы
А. Н. Колмогорова (1934) по теории линейных топологических пространств;
Н. Н. Боголюбова (1936) по инвариантным мерам в динамических системах;
Л. В. Канторовича (1937) и его учеников по теории полуупорядоченных пространств, применениям Ф. а. к вычислительной математике и др.; М. Г. Крейна и его учеников (1938) по углублённому изучению геометрии банаховых пространств, выпуклых множеств и конусов в них, теории операторов и связей с различными проблемами классического математического анализа и др.; И. М. Гельфанда и его учеников (1940) по теории нормированных колец (банаховых алгебр) и др.
Для современного этапа развития Ф. а. характерно усиление связей с теоретической физикой, а также с различными разделами классического анализа и алгебры, например теорией функций многих комплексных переменных, теорией дифференциальных уравнений с частными производными и т.п.
-
Понятие пространства. Наиболее общими пространствами, фигурирующими в Ф. а., являются линейные (векторные) топологические пространства, т. е. линейные пространства Х над полем комплексных чисел ═(или действительных чисел ), которые одновременно и топологические, причём линейные операции непрерывны в рассматриваемой топологии. Более частная, но очень важная ситуация возникает, когда в линейном пространстве Х можно ввести норму (длину) векторов, свойства которой являются обобщением свойств длины векторов в обычном евклидовом пространстве. Именно, нормой элемента x Î Х называется действительное число ||x|| такое, что всегда ||x|| ³ 0 и ||x|| = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;
||lx || = |l| ||x||, l Î ;
||x + y|| £ ||x|| + ||y||.
Такое пространство называется линейным нормированным; топология в нём вводится при помощи метрики dist (x, у) = ||x ≈ у|| (т. о. считается, что последовательность xn ═x, если ||xn ≈ x|| ═0.
В большом числе задач возникает ещё более частная ситуация, когда в линейном пространстве Х можно ввести скалярное произведение ≈ обобщение обычного скалярного произведения в евклидовом пространстве. Именно, скалярным произведением элементов x, у Î Х называется комплексное число (x, у) такое, что всегда (x, x) ³ 0 и (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;
═, l, m Î
При этом ═является нормой элемента x. Такое пространство называется предгильбертовым. Для конструкций Ф. а. важно, чтобы рассматриваемые пространства были полными (т. е. из того, что ═для xm, xn Î X, следует существование предела , также являющегося элементом Х). Полное линейное нормированное и полное предгильбертово пространства называются, соответственно, банаховым и гильбертовым. При этом известная процедура пополнения метрического пространства (аналогичная переходу от рациональных чисел к действительным) в случае линейного нормированного (предгильбертова) пространства приводит к банахову (гильбертову) пространству.
Обычное евклидово пространство является одним из простейших примеров (действительного) гильбертова пространства . Однако в Ф. а. играют основную роль бесконечномерные пространства, т. е. такие, в которых существует бесконечное число линейно независимых векторов. Вот примеры таких пространств, элементами которых являются классы комплекснозначных (т. е. со значениями в ) функций x (t), определённых на некотором множестве Т, с обычными алгебраическими операциями [т. e.(x + y)(t) = x (t) + y (t), (lx)(t) = lx (t)]
Банахово пространство С (Т) всех непрерывных функций, Т ≈ компактное подмножество n-мерного пространства , норма ||x|| = ; банахово пространство Lp (T) всех суммируемых с р-й (p ³ 1) степенью функций на Т, норма ; банахово пространство lp всех последовательностей таких, что , здесь ══(множеству целых чисел), норма ||x|| =(å|xj|p)1/p; в случае p = 2 пространства l2 и L2 (T) гильбертовы, при этом, например, в L2(T) скалярное произведение ; линейное топологическое пространство D (), состоящее из бесконечно дифференцируемых функций на , каждая из которых финитна [т. е. равна нулю вне некоторого интервала (а, b)]; при этом xn ═x, если xn (t) равномерно финитны [т. е. (а, b) не зависит от n] и сходятся равномерно со всеми своими производными к соответствующим производным x (t).
Все эти пространства бесконечномерны, проще всего это видно для l2: векторы ej = {0,..., 0, 1, 0,...} линейно независимы.
С геометрической точки зрения наиболее простыми являются гильбертовы пространства Н, свойства которых больше всего напоминают свойства конечномерных евклидовых пространств. В частности, два вектора x, у Î Н называются ортогональными (x ^ y), если (x, у) = 0. Для любого x Î Н существует его проекция на произвольное подпространство F ≈ линейное замкнутое подмножество Н, т. е. такой вектор xF, что x≈xF^f для любого f Î F. Благодаря этому факту большое количество геометрических конструкций, имеющих место в евклидовом пространстве, переносится на Н, где они часто приобретают аналитический характер. Так, например, обычная процедура ортогонализации приводит к существованию в Н ортонормированного базиса ≈ последовательности векторов ej, j Î , из Н таких, что ||ej|| = 1, ej ^ ek при j ¹ k, и для любого x Î H справедливо «покоординатное» разложение
x = åxjej (1)
где xj = (x, ej), ||x|| = å|xj|2 (для простоты Н предполагается сепарабельным, т. е. в нём существует счётное всюду плотное множество). Если в качестве Н взять L2(0, 2p) и положить , j =...,≈1, 0, 1..., то (1) даст разложение функции x (t) Î L2(0, 2p) в ряд Фурье, сходящийся в среднем квадратичном. Кроме того, соотношение (1) показывает, что соответствие между Н и l2 " {xj}, j Î , является изоморфизмом, т. е. линейной изометрией, так что последнее пространство в этом отношении универсально.
Подобные геометрические вопросы резко усложняются при переходе от гильбертовых к банаховым и тем более линейным топологическим пространствам в связи с невозможностью ортогонального проектирования в них. Например, «проблема базиса». Векторы e, образуют базис в lp в смысле справедливости разложения (1). Базисы построены в большинстве известных примеров банаховых пространств, однако проблема (С. Банаха ≈ Ю. Шаудера) существования базиса в каждом сепарабельном банаховом пространстве не поддавалась решению более 50 лет и лишь в 1972 была решена отрицательно. В Ф. а. важное место занимает подобная «геометрическая» тематика, посвященная выяснению свойств различных множеств в банаховых и др. пространствах, например выпуклых, компактных и т.д. Здесь часто просто формулируемые вопросы имеют весьма нетривиальные решения. Эта тематика тесно связана с изучением изоморфизма пространств, с нахождением универсальных (подобно l2) представителей в том или ином классе пространств и т.п.
Большой раздел Ф. а. посвящен детальному изучению конкретных пространств, т.к. их свойства обычно определяют характер решения задачи, получаемой методами Ф. а. Типичный пример ≈ теоремы вложения для т. н. пространств С. Л. Соболева и их обобщений: простейшее такое пространство Wlp (T), p ³ 1, l = 0, 1, 2,..., определяется как пополнение пространства бесконечно дифференцируемых в Т функций x (t) относительно нормы å||Dax|| в Lp (T), где сумма распространяется на все производные Da до порядка £ l. В этих теоремах выясняется вопрос о характере гладкости элементов пространства, получаемых процедурой пополнения.
В связи с запросами математической физики в Ф. а. возникло большое число конкретных пространств, строящихся из известных ранее при помощи определённых конструкций. Наиболее важные из них:
ортогональная сумма ═гильбертовых пространств Hj ≈ конструкция, подобная образованию Н одномерными подпространствами, описываемому формулой (1); факторизация и пополнение: на исходном линейном пространстве Х задаётся квазискалярное произведение [т. е. возможно равенство (x, x) = 0 для x ¹ 0], часто весьма экзотического характера, и Н строится процедурой пополнения Х относительно (.,.) после предварительного отождествления с 0 векторов x, для которых (x, x) = 0; тензорное произведение ═≈ образование его аналогично переходу от функций одной переменной f (x1) к функциям многих переменных f (x1,..., xq); проективный предел ═банаховых пространств ≈ здесь ═(грубо говоря), если ═для каждого a; индуктивный предел ═банаховых пространств X1 Ì X2 Ì..., здесь , если все xj, начиная с некоторого j0, лежат в одном Xj0, и в нём .Две последние процедуры обычно применяются для построения линейных топологических пространств. Таковы, например, ядерные пространства ≈ проективный предел гильбертовых пространств Нa, обладающих тем свойством, что для каждого a найдётся b такое, что hb Ì Нa, и это ≈ т. н. вложение Гильберта ≈ Шмидта [D () ≈ пример ядерного пространства].
Разработан важный раздел Ф, а., в котором изучаются пространства с конической структурой «x ═0» (полуупорядоченностью). Пример такого пространства ≈ действительное С (Т), в нём считается x ═0, если x (t ³)0 для всех t ÎT.
-
Операторы (общие понятия). Функционалы. Пусть X, Y ≈ линейные пространства; отображение A: X ╝ Y называется линейным, если для x, у Î X, l, m Î ,
A (lx + mу) = lAx + mАу;
линейные отображения обычно называются линейными операторами. В случае конечномерных X, Y структура линейного оператора простая: если зафиксировать базисы в Х и Y, то
,
где x1,..., xn и (Ax)1,..., (Ax) n ≈ координаты векторов x и Ax соответственно. При переходе к бесконечномерным линейным топологическим пространствам положение значительно усложняется. Здесь прежде всего необходимо различать непрерывные и разрывные линейные операторы (для конечномерных пространств они всегда непрерывны). Так, действующий из пространства L2 (а, b) в него же оператор
═══(2)
(где K (t, s) ≈ ограниченная функция ≈ ядро А) ≈ непрерывен, в то время как определённый на подпространстве C1(a, b) Ì L2(a, b) оператор дифференцирования
═══(3)
является разрывным (вообще, характерной особенностью разрывных операторов является то, что они не определены на всём пространстве).
Непрерывный оператор A: X ╝ Y, где X, Y ≈ банаховы пространства, характеризуется тем, что
,
поэтому его называют также ограниченным. Совокупность всех ограниченных операторов ═(X, Y) относительно обычных алгебраических операций образует банахово пространство с нормой ||A||. Свойства ═(X, Y) во многом отражают свойства самих Х и Y. В особенности это относится к случаю, когда Y одномерно, т. е. когда рассматриваются линейные непрерывные отображения l: X ╝ , называются (линейными непрерывными) функционалами. Пространство ═(X, ) называется сопряжённым к Х пространством и обозначается X". Если Х = Н гильбертово, то структура H" проста: подобно конечномерному случаю, каждый функционал l (x) имеет вид (x, a), где a ≈ зависящий от l вектор из Н (теорема Риса). Соответствие H" ╝ Н устанавливает изоморфизм между H" и Н, и можно считать, что H" = Н. В случае общего банахова пространства Х ситуация гораздо сложнее: можно строить X", X» = (X")",..., и эти пространства могут оказаться различными. Вообще, в случае банахова пространства непрост даже вопрос о существовании нетривиальных (т. е. отличных от 0) функционалов. Если F ≈ подпространство Х (не сводящееся к одной точке) и существует l Î F", то этот функционал можно продолжить на всё Х до функционала из X" без изменения нормы (теорема Хана ≈ Банаха). Если l Î Х, то уравнение l (x) = c определяет гиперплоскость ≈ сдвинутое на некоторый вектор подпространство X, имеющее на единицу меньшую, чем X, размерность, так что результаты типа указанной теоремы имеют простую геометрическую интерпретацию.
Пространство X" в известном смысле «лучше» X. Так, например, в нём можно наряду с нормой ввести т. н. слабую топологию [грубо говоря, , если ═для каждого x Î X], относительно которой шар, т. е. множество точек x Î Х таких, что ||x|| £ r, уже будет компактным (такого эффекта никогда не будет в бесконечномерном пространстве относительно топологии, порождаемой нормой). Это позволяет более детально изучить ряд геометрических вопросов для множеств из X", например установить структуру произвольного компактного выпуклого множества как замкнутой оболочки своих крайних точек (теорема Крейна ≈ Мильмана).
Важной задачей Ф. а. является отыскание общего вида функционалов для конкретных пространств. В ряде случаев (помимо гильбертова пространства) это удаётся сделать, например (lp)¢, p > 1, состоит из функций вида åxjej, где , . Однако для большинства банаховых (и в особенности линейных топологических) пространств функционалы будут элементами новой природы, не конструирующимися просто средствами классического анализа. Так, например, при фиксированных t0 и m на пространстве D () определён функционал . В случае m = 0 его ещё можно записать «классическим» образом ≈ при помощи интеграла, однако при m ³ 1 это уже невозможно. Элементы из (D ())¢ называются обобщёнными функциями (распределениями). Обобщённые функции как элементы сопряжённого пространства можно строить и тогда, когда D () заменено другим пространством Ф, состоящим как из бесконечно, так и конечное число раз дифференцируемых функций; при этом существенную роль играют тройки пространств Ф" É Н É Ф, где Н ≈ исходное гильбертово пространство, а Ф ≈ линейное топологическое (в частности, гильбертово с др. скалярным произведением) пространство, например
Ф = Wl2(T).
Дифференциальный оператор D, фигурирующий в (3), будет непрерывным, если его понимать действующим в L2[a, b] из пространства C1[a, b], снабженного нормой , ═Однако для многих задач, и прежде всего для спектральной теории, такие дифференциальные операторы необходимо интерпретировать как действующие в одном и том же пространстве. Эти и другие близкие задачи привели к построению общей теории неограниченных, в частности неограниченных самосопряжённых, и эрмитовых операторов.
-
Специальные классы операторов. Спектральная теория. Многие задачи приводят к необходимости изучать разрешимость уравнения вида Cx = y, где С ≈ некоторый оператор, у Î Y ≈ заданный, а x Î Х ≈ искомый векторы. Например, если Х = Y = L2 (а, b), С = Е ≈ А, где А ≈ оператор из (2), а Е ≈ тождественный оператор, то получается интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода; если С ≈ дифференциальный оператор, то получается дифференциальное уравнение, и т.п. Однако здесь нельзя рассчитывать на достаточно полную аналогию с линейной алгеброй, не ограничивая класс рассматриваемых операторов. Одним из важнейших классов операторов, наиболее близких к конечномерному случаю, являются компактные (вполне непрерывные) операторы, характеризующиеся тем, что переводят каждое ограниченное множество из Х в множество из Y, замыкание которого компактно [таков, например, оператор А из (2)]. Для компактных операторов построена теория разрешимости уравнения x ≈ Ax = у, вполне аналогичная конечномерному случаю (и содержащая, в частности, теорию упомянутых интегральных уравнений) (Ф. Рис).
В разнообразных задачах математической физики возникает т. н. задача на собственные значения : для некоторого оператора А: Х ╝ Х требуется выяснить возможность нахождения решения j ¹ 0 ( собственного вектора ) уравнения Аj = lj при некотором l Î ═(соответствующем собственном значении). Действие А на собственный вектор особенно просто ≈ оно сводится к умножению на скаляр. Поэтому, если, например, собственные векторы оператора А образуют базис ej, j Î , пространства X, т. е. имеет место разложение типа (1), то действие А становится особенно наглядным:
Ax = åljxjej,═══(4)
где lj, ≈ собственное значение, отвечающее ej. Для конечномерного Х вопрос о таком представлении полностью выяснен, при этом в случае кратных собственных значений для получения базиса в Х нужно, вообще говоря, добавить к собственным т. н. присоединённые векторы. Набор SpA собственных значений в этом случае называется спектром А.
Первое перенесение этой картины на бесконечномерный случай было дано для интегральных операторов типа А из (2) с симметричным ядром [т. е. K (t, s) = K (s, t) и действительно] (Д. Гильберт). Затем подобная теория была развита для общих компактных самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. Однако при переходе к простейшим некомпактным операторам возникли трудности, связанные с. самим определением спектра. Так, ограниченный оператор в L2[a, b]
(Tx)(t) = tx (t)══(5)
не имеет собственных значений. Поэтому определение спектра было пересмотрено, обобщено и выглядит сейчас следующим образом.
Пусть Х ≈ банахово пространство, А Î ═(X, X). Точка z Î ═называется регулярной для А, если обратный оператор (А ≈ zE)√1 = Rz (т. е. обратное отображение) существует и принадлежит ═(X, X). Дополнение к множеству регулярных точек и называется спектром Sp А оператора А. Как и в конечномерном случае, Sp А всегда не пуст и расположен в круге ||z|| £ ||A||. С помощью этих понятий построена операторов теория , т. е. выяснено, как придавать разумный смысл некоторым функциям от операторов. Так, если f (z) = ═≈ многочлен, то f (A) = ═(степень оператора понимается как последовательное его применение). Однако если f (z) ≈ аналитическая функция, то так прямо понимать f (A) уже не всегда возможно; в этом случае f (A) определяется следующей формулой, если f (z) аналитична в окрестности SpA, а Г ≈ контур, охватывающий SpA и лежащий в области аналитичности f (z):
.═══(6)
При этом алгебраические операции над функциями переходят в аналогичные операции над операторами [т. е. отображение f (z) ╝ f (A) ≈ гомоморфизм]. Эти конструкции не дают возможности выяснить, например, вопросы полноты собственных и присоединённых векторов для общих операторов, однако для самосопряжённых операторов, представляющих основной интерес, например, для квантовой механики, подобная теория полностью разработана.
Пусть Н ≈ гильбертово пространство. Ограниченный оператор А: Н ╝ Н называется самосопряжённым, если (Ax, у) = (x, Ау) (в случае неограниченного А определение более сложно). Если Н n-мерно, то в нём существует ортонормированный базис собственных векторов самосопряжённого оператора А; другими словами, имеют место разложения:
, ,═══(7)
где P (lj) ≈ оператор проектирования (проектор) на подпространство, натянутое на все собственные векторы оператора А, отвечающие одному и тому же собственному значению lj.
Оказывается, что эти формулы могут быть обобщены на произвольный самосопряжённый оператор из Н, только сами проекторы P (lj) могут не существовать, поскольку могут отсутствовать и собственные векторы [таков, например, оператор Т в (5)]. В формулах (7) суммы заменяются теперь интегралами Стилтьеса по неубывающей операторнозначной функции Е (l) [которая в конечномерном случае равна ], называется разложением единицы, или спектральной (проекторной) мерой, точки роста которой совпадают со спектром Sp А. Если привлечь обобщённые функции, то формулы типа (7) сохраняются. Именно, если имеется тройка Ф" É Н É Ф, где Ф, например, ядерно, причём А переводит Ф в Ф¢ и непрерывно, то соотношения (7) имеют место, только суммы переходят в интегралы по некоторой скалярной мере, а Е (l) теперь «проектирует» Ф в Ф¢, давая векторы из Ф¢, которые будут собственными в обобщённом смысле для А с собственным значением l. Аналогичные результаты справедливы для т. н. нормальных операторов (т. е. коммутирующих со своими сопряжёнными). Например, они верны для унитарных операторов U ≈ таких ограниченных операторов, которые отображают всё Н на всё Н и сохраняют при этом скалярное произведение. Для них спектр SpU расположен на окружности |z| = 1, вдоль которой и производится интегрирование в аналогах формул (6). См. также Спектральный анализ линейных операторов.
-
Нелинейный функциональный анализ. Одновременно с развитием и углублением понятия пространства шло развитие и обобщение понятия функции. В конечном счёте оказалось необходимым рассматривать отображения (не обязательно линейные) одного пространства в другое (часто ≈ в исходное). Одной из центральных задач нелинейного Ф. а. является изучение таких отображений. Как и в линейном случае, отображение пространства в ═(или в ) называется функционалом. Для нелинейных отображений (в частности, нелинейных функционалов) можно различными способами определить дифференциал, производную по направлению и т.д. аналогично соответствующим понятиям классического анализа. Выделение из отображения квадратичного и т.д. членов приводит к формуле, аналогичной формуле Тейлора.
Важной задачей нелинейного Ф. а. является задача отыскания неподвижных точек отображения (точка x называется неподвижной для отображения F, если Fx = x). К отысканию неподвижных точек сводятся многие задачи о разрешимости операторных уравнений, а также задачи отыскания собственных значений и собственных векторов нелинейных операторов. При решении уравнений с нелинейными операторами, содержащими параметр, возникает существенное для нелинейного Ф. а. явление ≈ т. н. точки ветвления (решений).
При исследовании неподвижных точек и точек ветвления используются топологические методы: обобщения на бесконечномерные пространства теоремы Брауэра о существовании неподвижных точек отображений конечномерных пространств, степени отображений и т.п. Топологические методы Ф. а. развивались польским математиком Ю. Шаудером, французским математиком Ж. Лере, советскими математиками М. А. Красносельским, Л. А. Люстерником и др.
-
Банаховы алгебры. Теория представлений. На ранних этапах развития Ф. а. изучались задачи, для постановки и решения которых необходимы были лишь линейные операции над элементами пространства. Исключение составляют, пожалуй, только теория колец операторов (факторов) (Дж. Нейман, 1929) и теория абсолютно сходящихся рядов Фурье (Н. Винер , 1936). В конце 30-x гг. в работах японского математика М. Нагумо, советских математиков И. М, Гельфанда, Г. Е. Шилова, М. А. Наймарка и др. стала развиваться теория т. н. нормированных колец (современное название ≈ банаховы алгебры), в которой, кроме операций линейного пространства, аксиоматизируется операция умножения (причём ||xy|| £ ||x|| ||y||). Типичными представителями банаховых алгебр являются кольца ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве Х (умножение в нём ≈ последовательное применение операторов ≈ необходимо с учётом порядка), различного рода функциональные пространства, например C (T) с обычным умножением, L1() со свёрткой в качестве произведения, и широкое обобщение их ≈ класс т. н. групповых алгебр (топологические группы G), состоящих из комплекснозначных функций или мер, определённых на G со свёрткой (в различных, не обязательно эквивалентных вариантах) в качестве умножения.
Пусть ═≈ коммутативная (т. е. xy = ух для любых x, у Î ) банахова алгебра с единицей (т. е. таким элементом e, что ex = xe = x, ||e|| = 1). Идеалом алгебры ═называется такое подпространство I Î , что из x Î ═и а Î I следует xa Î I. Идеал называется максимальным, если он не содержится ни в каком нетривиальном (т. е. отличном от ) идеале. Оказывается, что во множестве М всех максимальных идеалов можно так ввести компактную топологию, что каждому элементу x Î ═соответствует комплекснозначная непрерывная функция ═на М, причём сумме x + y и произведению xy соответствуют сумма и произведение функций. Другими словами, существует гомоморфизм ═в пространстве С (М) (теорема Гельфанда).
В некоммутативном случае наиболее изучены банаховы алгебры ═с инволюцией ≈ таким отображением *: ═╝ , что для любых x, у Î , l, m Î
(x*)* = x,
(lx + my)* =`lx* +`my*.
(ху)* = у*х*.
Такова, например, банахова алгебра ═(H) ограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве Н, инволюция в нём ≈ переход к сопряжённому оператору [оператор А* называется сопряжённым к оператору А Î ═(Н), если (A* x, у) = (x, Ау) для любых x, у Î Н, в случае неограниченного оператора определение сложнее]. В частности, самосопряжённый оператор характеризуется тем, что А* = А, а унитарный U* = U-1 Пусть банахова алгебра ═с инволюцией удовлетворяет условию: ||xx*|| = ||x||2 для любого x Î ═(т. е. ═является т. н. С*-алгеброй). Тогда ═изометрически изоморфна подалгебре алгебры (H) (теорема Гельфанда ≈ Наймарка). Кроме того, в коммутативном случае ═изоморфна С (М).
Мультипликативная структура банаховой алгебры (H) играет важную роль в т. н. теории представлений групп и алгебр. Вообще, представление абстрактных математических объектов более простыми, или во всяком случае более привычными, является одним из мощных методов в математике. Так, например, спектральное разложение (7) самосопряжённого оператора А можно интерпретировать как представление А в виде интеграла от операторов умножения на независимую переменную l измеримых функций некоторого класса: А = òldE (l). Если рассмотреть умножение функций того же класса на борелевские функции, то получается представление коммутативного кольца операторов в гильбертовом пространстве. Другие более общие примеры приведены ниже.
Наиболее полно развита теория линейных представлений топологических групп (в т. ч. конечных). Линейным представлением (топологической) группы G называется гомоморфизм p: G ╝ (X), где (X) ≈ группа (относительно умножения) линейных операторов некоторого (топологического) линейного пространства Х [т, е. по существу (X) ≈ группа преобразований пространства X]. Обычно рассматриваются непрерывные представления ≈ такие, что отображение {g, x} ╝ p(g) x непрерывно по совокупности аргументов g Î G, x Î X. Аналогично определяется представление кольца и алгебры, в частности банаховой алгебры; здесь требуется дополнительно, чтобы линейная структура ═соответствовала линейной структуре кольца ═(X). Наиболее изученным и наиболее важным для приложений (динамические системы, квантовая механика и квантовая теория поля) является класс унитарных представлений, когда Х = Н ≈ гильбертово пространство, а p(g) ≈ унитарные операторы для всех g Î G.
Пусть G ≈ локально компактная группа, dg ≈ мера Хаара на G, т. е. неотрицательная мера на кольце ═борелевских подмножеств G, инвариантная справа: для любых В Î ═и h Î G выполнено равенство òBh dg = òBdg. Пусть, далее, L1(G, dg) ≈ групповая алгебра суммируемых (относительно dg) функций на G. Каждому h Î G соответствует унитарный (вследствие инвариантности dg) оператор (группового) сдвига Th в L1(G, dg), определяемый для f (g) Î L1(G, dg), g Î G формулой Thf (g) = f (gh), при этом Th1Th2 = Th1h2, (Th)-1 = Th-1 т. е. Отображение p(h) = Th ≈ унитарное представление G. В свою очередь, группа сдвигов (образ G при отображении p) гомоморфно отображается на пространство L1(G, dg), которое, т. о., можно считать ареной действия (обратного) представления операторов Th функциями f (g).
Если G коммутативна, то структура операторов сдвига описывается следующей формулой , где c(h) ≈ характер группы G: непрерывная функция на G такая, что |c(h)| = 1 и c(h1h2) = c(h1)c(h2), dc ≈ мера Хаара на группе характеров , а
,
≈ обобщённое преобразование Фурье функций f (g) и k (g), которое продолжается до изоморфизма L2(G, dg) в L2(, dc). Для некоммутативных групп ситуация во многом усложняется. Если G компактна, то представление группы операторов сдвига (или, короче, группы сдвигов) удаётся хорошо описать; в этом случае L2(G, dg) распадается в прямую сумму конечномерных инвариантных относительно сдвигов подпространств. Если G некомпактна, то также получается разложение L2(G, dg) на более простые инвариантные части, но уже не в прямую сумму, а в прямой интеграл.
Если G = , то теория унитарных представлений может быть сведена к теории самосопряжённых операторов. Именно, однопараметрическая группа унитарных операторов Тl, l Î ═в гильбертовом пространстве Н допускает представление Тl = exp ilA, где А ≈ самосопряжённый оператор (теорема Стоун а); оператор А называется инфинитезимальным оператором (генератором) группы {Т"l}. Этот результат находит важные применения в изучении преобразований фазового пространства классической механики. Эта связь, а также приложения в статистической физике лежат в основе обширной ветви Ф. а. ≈ эргодической теории . Связь между однопараметрическими группами преобразований и их генераторами допускает значительные обобщения: операторы Tl не обязаны быть унитарными, могут действовать в банаховых и более общих пространствах и даже быть определёнными лишь для l ³ 0 (т. н. теория полугрупп операторов). Этот раздел Ф. а. имеет приложения в теории дифференциальных уравнений с частными производными и теории случайных (именно марковских) процессов.
Лит.: Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа 4 изд., М., 1976; Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966; Вулих Б. З., Введение в теорию полуупорядоченных пространств, М., 1961; Банах С. С., Курс функцioнального аналiзу Киïв, 1948; Рисс Ф., Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., М., 1954; Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Л., 1950; Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ в нормированных пространствах, М., 1959; Красносельский М. А., Забрейко П. П., Геометрические методы нелинейного анализа, М., 1975; Наймарк М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968; Рудин У., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1975; Иосида К., Функциональный анализ, пер, с англ., М., 1967; Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, пер. с англ., ч. 1≈3, М., 1962≈74; Хилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., 2 изд., М., 1962; Эдвардс Р. Э., Функциональный анализ. Теория и приложения пер с англ., М., 1969.
Ю. М. Березанский, Б. М. Левитан.