Что значит "степенной ряд"

ряд вида a0 + a1z + a2z2 +... + anzn +...,

где коэффициенты a0, a1, a2,..., an,... ≈ комплексные числа, не зависящие от комплексного переменного z. Областью сходимости С. р. является, вообще говоря, открытый круг D = {z: |z| < R} с центром в точке z = 0. Этот круг называется кругом сходимости С. р., а его радиус R ≈ радиусом сходимости С. р. В частных случаях круг сходимости может вырождаться в точку z = 0 (в этом случае R = 0; пример: ) или совпадать со всей комплексной плоскостью (R = ¥; пример: ). Радиус сходимости С выражается через его коэффициенты по формуле Коши ≈ Адамара

.

Во всех точках круга сходимости С. р. сходится абсолютно; в граничных точках этого круга (в точках окружности |z| = R) С. р. может как сходиться, так и расходиться. Примеры: , R = 1, ряд расходится в каждой точке окружности ;

, R = 1,

ряд абсолютно сходится во всех точках окружности . В любой внешней точке круга сходимости (lzl > R) С. р. расходится. Внутри круга сходимости сумма С. р. ═является аналитической функцией ; производные любого порядка функции f (z) можно получить почленным дифференцированием данного ряда, причём С. р. совпадает с Тейлора рядом своей суммы.

А. А. Гончар.

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

в котором коэффициенты a берутся из некоторого кольца R.