Что значит "симметрические функции"

функции нескольких переменных, не изменяющиеся при любых перестановках переменных, например ═или . Особое значение в алгебре имеют симметрические многочлены (с. м.) и среди них ≈ элементарные симметрические многочлены (э. с. м.) ≈ функции , , , ┘, , где суммы распространены на комбинации неравных между собой чисел k, l,...; они имеют первую степень относительно каждого из переменных. Согласно формулам Виета, x1, x2,..., xn являются корнями уравнения: xn - f1xn-1 + f2xn-2 - ╥╥╥ + (- 1) nfn = 0. Согласно основной теореме теории С. ф., любой с. м. представляется как многочлен от э. с. м., и притом только единственным образом: F (x1, x2.,..., xn) = G (f1, f2,..., fn); если все коэффициенты в F целые, то и коэффициенты в G целые. Иными словами, всякий с. м. от корней уравнения выражается целым рациональным образом через его коэффициенты; например, . Другим важным классом С. ф. являются степенные суммы . Они связаны с э. с. м. формулами Ньютона si - f1sl-1 + f2sl-2 + ╥╥╥ + (≈ 1) lfl = 0, , и sn+l - f1sn+l-1 + ╥╥╥ +(-1) nfnsl = 0, , позволяющими последовательно выражать fk через srn и обратно. Функция называется кососимметрической, или знакопеременной, если она не изменяется при чётных перестановках x1, x2,..., xn и меняет знак при нечётных перестановках. Такие функции рационально выражаются через f1, f2,..., fn и разностное произведение (см. Дискриминант ) D = Пк<1(xk≈ xl), квадрат которого является С. ф. и потому рационально выражается через f1, f2,..., fn. Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М., 197