Большая Советская Энциклопедия
(позднелатинское sequentia ≈ последовательность, следствие), секвенциальные исчисления, исчисления способов заключений, модификации понятия логического исчисления , в которых основными объектами преобразования являются не формулы, а т. н. секвенции, т. е. выражения вида A1,..., Al ╝ B1,..., Bm, где ╝ аналогична знаку выводимости, A1,..., Alи B1,..., Bm ≈ произвольные формулы; первые ≈ образующие антецедент секвенции, вторые ≈ её сукцедент. При l, m ³ 1 секвенция A1,..., Al ╝ B1,... Bmинтерпретируется как формула
A1&... &A1ÉB1Ú...Ú Bm.
(& ≈ знак конъюнкции, É ≈ импликации, Ú ≈ дизъюнкции, см. Логические операции ), секвенция с пустым антецедентом интерпретируется как истина, а секвенция с пустым сукцедентом ≈ как ложь (и, следовательно, секвенция ╝, состоящая из одной стрелки, ≈ как противоречие). Аксиомами (исходными секвенциями) в С. и. являются все секвенции вида С ╝ С (и только они). Правила вывода делятся на т. н. структурные и логические. Первые кодифицируют допустимые изменения «формульного состава» антецедента и сукцедента, вторые ≈ введение в секвенции различных логических символов. Структурные правила ≈ это «уточнение» (добавление произвольной формулы к антецеденту или сукцеденту), «сокращение» (вычёркивание повторяющихся формул), перестановка произвольных формул в антецеденте или сукцеденте, а также «сечение»
(латинскими буквами обозначаются произвольные формулы, греческими ≈ строчки формул, разделённых запятыми, над чертой пишется посылка правила, под чертой ≈ заключение). Логические правила вывода имеют для секвенциального классического исчисления высказываний следующий вид:
; ;
═.
Если и структурные, и логические правила вывода ограничить условием, согласно которому в сукцеденте каждой секвенции должно быть не более одной формулы, то получим секвенциальное интуиционистское исчисление высказываний: это условие оказывается достаточным для невыводимости в С. и. исключенного третьего принципа (а также закона снятия двойного отрицания). Секвенциальное исчисление предикатов получается присоединением к предыдущим правилам ещё двух пар правил введения кванторов общности и существования.
Основной результат немецкого математика Г. Генцена состоит в установлении возможности приведения каждого вывода в С. и. к «нормальной форме», не содержащей применений правила сечения и тем самым представляющей в некотором смысле «прямой» вывод. Из многочисленных приложений этого результата особенно важны доказательства непротиворечивости арифметических формальных систем, использующие математическую технику, выходящую за рамки гильбертовского финитизма (см. Аксиоматический метод , Метаматематика ), и тем самым обходящие в известном смысле трудности, обусловленные теоремой К. Гёделя о неполноте формальной арифметики. Эта же основная теорема Генцена лежит в основе большинства алгоритмов выводимости для логических и логико-математических исчислений (см. Разрешения проблема ), чем и обусловлена исключительная важность С. и. для интенсивно развивающихся исследований в области машинного поиска логического вывода, являющихся важным примером моделирования интеллектуальной деятельности человека.
Лит.: Генцен Г., Исследования логических выводов, пер. с нем., в кн.: Математическая теория логического вывода, М, 1967, с. 9≈74; его же. Непротиворечивость чистой теории чисел, там же, с. 77≈153; его же, Новое изложение доказательства непротиворечивости для чистой теории чисел, там же, с. 154≈90; Карри Х. Б Основания математической логики. пер. с англ., М., 1969, гл. 5С, 6B, 7B и 8B; Алгорифм машинного поиска естественного логического вывода в исчислении высказываний, М. ≈ Л., 1965.