Большая Советская Энциклопедия
важный частный случай сходимости . Последовательность функций fn (x) (n = 1, 2, ...) называется равномерно сходящейся на данном множестве к предельной функции f (x), если для каждого e > 0 существует такое N = N (e), что ïf (x) ≈ fn (x)ï < e при n > N для всех точек х из данного множества. Например, последовательность функций fn (x) = xn равномерно сходится на отрезке [0, 1/2] к предельной функции f (x) = 0, так как ïf (x) ≈ fn (x)ï £ (1/2) n < e для всех 0 £ x £ 1/2, если только n > ln (1/e)/ln2, но она не будет равномерно сходящейся на отрезке [0, 1], где предельной функцией является f (x) = 0 при 0 £ x < 1 и f (
-
= 1, т.к. для любого сколько угодно большого заданного n существуют точки h, удовлетворяющие неравенствам , для которых ïf (h) ≈ fn (h)ï = hn > 1/2. Понятие Р. с. допускает простую геометрическую интерпретацию: если последовательность функций fn (x) равномерно сходится на некотором отрезке к функции f (x), то это означает, что для любого e > 0 все кривые у = fn (x) с достаточно большим номером будут расположены внутри полосы ширины 2e, ограниченной кривыми у = f (x) ╠ e для любого х из этого отрезка (см. рис.).
Равномерно сходящиеся последовательности функций обладают важными свойствами; например, предельная функция равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций также непрерывна (приведённый выше пример показывает, что предельная функция последовательности непрерывных функций, которая не является равномерно сходящейся, может быть разрывной). Важную роль в математическом анализе играет теорема Вейерштрасса: каждая непрерывная на отрезке функция может быть представлена как предел равномерно сходящейся последовательности многочленов (или тригонометрических полиномов). См. также Приближение и интерполирование функций .
Википедия
Равномерная сходимость последовательности функций ( отображений ) — свойство последовательности f: X → Y, где X — произвольное множество , Y = (Y, d) — метрическое пространство , n = 1, 2, … сходится к функции f: X → Y, означающее, что для любого ɛ > 0 существует такой номер N, что для всех номеров n > N и всех точек x ∈ X выполняется неравенство
∣f(x) − f(x)∣ < ɛ
Обычно обозначается $f_n\rightrightarrows f$. Другими словами, последовательность функций {f} равномерно сходится к функции f, если скорость сходимости f(x) к f(x) не зависит от аргумента x.
Это условие равносильно тому, что
limsup∣f(x) − f(x)∣ = 0.