Что значит "равномерная непрерывность"

важное понятие математического анализа. Функция f (x) называется равномерно-непрерывной на данном множестве, если для всякого e > 0 можно найти такое d = d(e) > 0, что êf (x

1. ≈ f (x

2. ê<e для любой пары чисел x1 и x2 из данного множества, удовлетворяющей условию ïx1≈x2ï< d (ср. Непрерывная функция ). Например, функция f (x) = x2 равномерно непрерывна на отрезке [0, 1]: если , то ═(так как для 0 £ x1 £ 1, 0 £ x2 £ 1 обязательно ïx1 + x2ï£ 2). Вообще функция, непрерывная в каждой точке отрезка [а, b], равномерно непрерывна на этом отрезке (теорема Кантора). Для интервала эта теорема может не иметь места.

   Так, например, функция ═непрерывна в каждой точке интервала 0 < x < 1, но не является равномерно непрерывной в этом интервале, потому что, например, при e = 1 для любого d > 0 (d <1) мы имеем удовлетворяющие неравенству ïx1≈ x2ï < d числа x1 = ═и x2 = d , для которых .

Равноме́рная непреры́вность в математическом и функциональном анализе — это свойство функции быть одинаково непрерывной во всех точках области определения.

Понятие непрерывности в общем смысле означает, что малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции. Свойство равномерной непрерывности также требует, чтобы величина, ограничивающая отклонение значения аргумента, зависела только от величины отклонения функции, но не от значения аргумента, т.е. имела постоянный характер на всей области определения функции.