Большая Советская Энциклопедия
системы дифференциальный уравнений 2-го порядка
═≈ замкнутая траектория в фазовом пространстве xOy, обладающая тем свойством, что все траектории, начинающиеся в достаточно узкой кольцеобразной ее окрестности, неограниченно приближаются к этой траектории или при t ╝ +¥ (устойчивый П. ц.), или при t ╝ -¥ (неустойчивый П. ц.), или часть из них при t ╝ +¥, а остальные ≈ при t ╝ -¥ (полуустойчивый П. ц.). Например, система
(r и j ≈ полярные координаты), общее решение которой r = 1 √ (1 √ r0)e-t, j = j0 + t (где r0 ³ 0), имеет устойчивый П. ц. r = 1 (см. рис.). Понятие П. ц. переносится также на систему n-го порядка. С механической точки зрения устойчивый П. ц. соответствует устойчивому периодическому режиму системы. Поэтому разыскание П. ц. имеет важное значение в теории нелинейных колебаний.
Лит.: Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1970; Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959.
Википедия
В теории динамических систем и дифференциальных уравнений , предельным циклом векторного поля на плоскости или, более обобщённо, на каком-либо двумерном многообразии называется замкнутая траектория этого векторного поля, в окрестности которой нет других периодических траекторий. Эквивалентным является утверждение, что всякая достаточно близкая к предельному циклу траектория стремится к нему либо в прямом, либо в обратном времени.
Теоремы Пуанкаре — Бендиксона и Андронова — Понтрягина утверждают, что типичная система с непрерывным временем на плоскости может стремиться только к положению равновесия или к предельному циклу.