Большая Советская Энциклопедия
консервативное поле, векторное поле, циркуляция которого вдоль любой замкнутой траектории равна нулю. Если П. п. ≈ силовое поле, то это означает равенство нулю работы сил поля вдоль замкнутой траектории. Для П. п. а (М) существует такая однозначная функция u (М) ( потенциал поля), что а = gradu (см. Градиент ). Если П. п. задано в односвязной области W, то потенциал этого поля может быть найден по формуле
,
в которой AM ≈ любая гладкая кривая, соединяющая фиксированную точку А из W с точкой М, t ≈ единичный вектор касательной кривой AM и / ≈ длина дуги AM, отсчитываемая от точки А. Если а (М) ≈ П. п., то rot a = 0 (см. Вихрь векторного поля). Обратно, если rot а = 0 и поле задано в односвязной области и дифференцируемо, то а (М) ≈ П. п. Потенциальными являются, например, электростатическое поле, поле тяготения, поле скоростей при безвихревом движении.