Что значит "положительная логика"

совокупность логических теорий, в которых изучаются способы рассуждений, не связанные с опровержениями; не содержит операции отрицания.

логика, в которой приемлемыми считаются только рассуждения, не связанные с опровержениями, т. е. с обоснованиями ложности высказываний. Поскольку выражение «А ≈ ложно» есть лишь иная форма выражения «не-А», в П. л. отказываются от любых способов введения отрицания, к числу которых относятся приёмы косвенных доказательств , в том числе доказательств от противного , а также явные определения отрицания типа ù А = dfA (f, где ù ≈ знак отрицания, É ≈ импликация , а f ≈ пропозициональная переменная или какое-либо «допустимое» абсурдное утверждение. П. л. можно назвать, таким образом, логикой без отрицания. Логические законы , соответствующие правильным рассуждениям в П. л. (или же правила, кодифицирующие способы таких рассуждений), описываются и каталогизируются в соответствующих логических исчислениях , из которых важнейшими являются положительное импликативное исчисление высказываний с единственной логической операцией ≈ импликацией, и полное положительное исчисление высказываний с конъюнкцией , дизъюнкцией , импликацией и эквиваленцией. Положительное импликативное исчисление высказываний (подробно об исчислении высказываний см. в ст. Логика ) задаётся с помощью двух аксиомных схем:

1. А É (В É A),

2. (A É (В É С)) É ((А É В) É (А É C)

   и правила modus ponens; полное положительное исчисление высказываний ≈ добавлением к схемам (1) и (2) следующих:

3. (А & В) É А,

4. (A & В) É В,

5. А É (В É (A & В)),

6. (A É С) É ((B É С) É ((А Ú В) É C)),

7. А É (A ÚB),

8. В É (A Ú B)

   и определения эквиваленции как сокращения для выражения (А É В) & (В É А). Более сильные логические исчисления получаются из исчислений П. л. последовательным неконсервативным расширением (усилением) их систем аксиом или правил вывода. Так, присоединение к (1) и (2) аксиомной схемы

9. (А É В) É ((А Éù В) É ù А)

   или соответствующего ей правила reductio ad absurdum даёт минимальную логику Колмогорова (1925), а аналогичное добавление к полному положительному исчислению высказываний ≈ минимальную логику Иохансона (1936). Присоединяя: к последней схему

10. ù А É (А É В)

    (противоречие влечёт произвольное утверждение) и схему

11. ù А (А

    ( исключенного третьего принцип ), получают соответственно интуиционистскую и классическую логику высказываний.

    Поскольку все законы П. л. имеют силу (доказуемы) в интуиционистской и классической логике (обратное, естественно, неверно), положительные исчисления обычно рассматривают как их подсистемы ≈ вообще как «частичные системы». Существенно, однако, что положительные исчисления, взятые «сами по себе», и «те же» исчисления «внутри» более сильной логики ≈ это исчисления с различной семантикой логических связок (операций), которая для первых детерминируется только их собственными аксиомами или правилами употребления связок, а для вторых наследуется от более сильной логики.

    Лит.: Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, ╖ 26; Расёва Е., Сикорский Р., Математика метаматематики, пер. с англ., М., 1972, гл. 1:1, ╖╖ 2≈6.

    М. М. Новосёлов.