Большая Советская Энциклопедия
гауссова кривизна, одна из мер искривления поверхности в окрестности какой-либо её точки, равная произведению главных кривизн (см. Кривизна ). Для плоскости (а также для любой развёртывающейся линейчатой поверхности) она обращается в нуль. Для сферы она постоянна и равна обратной величине квадрата радиуса сферы. В случае поверхности, имеющей вид автомобильной шины (тор), П. к. отрицательна в точках, прилегающих к колесу, и положительна в наружных точках.
Если окрестность данной точки Р на поверхности отобразить на сферу единичного радиуса, ставя в соответствие каждой точке окрестности конец радиуса, направленного так же, как вектор нормали к поверхности в рассматриваемой точке, то отношение площади полученной части сферы к площади окрестности на поверхности будет стремиться к П. к., если окрестность будет стягиваться к точке Р. Для того чтобы это утверждение было верным во всех случаях, нужно при подсчёте площадей на сфере приписывать им знаки + или ≈ в зависимости от направления обхода границы на сфере при определённом направлении обхода области на поверхности.
П. к. остаётся неизменной при изгибании поверхности, т. е. при такой её деформации, при которой длины линий на поверхности не изменяются. См. Поверхностей теория .
Википедия
Полная кривизна может использоваться для нескольких сходных понятий в римановой геометрии :
- Для поверхностей в трёхмерном евклидовом пространстве.
- Полная кривизна в точке — гауссова кривизна в точке поверхности.
- Полная кривизна области — интеграл гауссовой кривизны по области поверхности.
- Произведение главных кривизн поверхности в римановом пространстве. В этом случае полная кривизна равна разнице между внутренней кривизной поверхности и секционной кривизной объемлющего пространства в направлении касательном к поверхности.