Википедия
Подкольцо кольца K — это пара (R, i), где R — кольцо, а $i: R\hookrightarrow K$ — мономорфизм колец. Такое определение согласуется с общим понятием подобъекта в теории категорий .
В классическом определении подкольцо кольца (K, + , * ) рассматривается как подмножество R ⊂ K, замкнутое относительно операций + и * из основного кольца. Это определение равносильно данному выше, однако в современном определении подчёркивается внутренняя структура подколец и связь между различными кольцами. Оно также легко обобщается на случай произвольных математических объектов . Разница между определениями аналогична разнице между теоретико-множественным и теоретико-категорным взглядом на математику.
В частности, различные определения кольца дают два основных содержательных понятия подкольца. В категории колец Ring подкольцо, как в классическом определении, можно рассматривать как произвольное подмножество кольца, замкнутое по сложению и умножению. Более интересная ситуация в категории колец с единицей Ring: морфизмы f : R → K в этой категории должны отображать единицу кольца R в единицу кольца K (аналогично гомоморфизму полугрупп с единицей ), поэтому подкольцо R кольца K также обязано содержать единицу: 1 ∈ R.
Категория Ring устроена гораздо лучше, чем Ring. Например, ядро любого гомоморфизма также является объектом этой категории. Из-за этого говоря о подкольце обычно подразумевают подкольцо в Ring, если не оговорено обратное.
Примеры- Любой идеал замкнут относительно сложения и умножения, поэтому является подкольцом в Ring.
- В Ring идеал является подкольцом только тогда, когда содержит 1, поэтому он обязан совпадать со всем кольцом. Поэтому в Ring собственные идеалы не являются подкольцами.
- В Ring подкольцами в $\Z$ являются всевозможные главные идеалы $(n)=n\Z$. В Ring $\Z$ не имеет собственных подколец.
- Кольцо целых чисел $\Z$ является подкольцом поля вещественных чисел $\R$ и подкольцом кольца многочленов $\Z[X]$.