Новый толково-словообразовательный словарь русского языка, Т. Ф. Ефремова.
нареч. Следом, не отставая (идти, гнаться, следовать и т.п.).
Википедия
«По пятам» — научно-фантастический рассказ Роберта Хайнлайна , посвящённый парадоксам перемещений во времени . Рассказ, написанный в 1941 году , стал классикой научной фантастики и был одним из первых произведений, в которых рассматривалась проблема « временных петель », внёс большой вклад в развитие идеи машины времени .