Что значит "первый интеграл"

системы обыкновенных дифференциальных уравнений

, i = 1, ┘, n

≈ соотношение вида

(где С ≈ произвольная постоянная), левая часть которого сохраняет постоянное значение при подстановке любого решения y1 = y1(x),..., yn= yn (x) системы, но не является тождественной постоянной (см. Дифференциальные уравнения ). Геометрически П. и. представляет собой семейство гиперповерхностей в (n + 1)-мерном пространстве Oxy1... yn, на каждой из которых расположено некоторое подсемейство интегральных кривых системы. Например, одним из П. и. системы , ═является y2 + x2 = C2 (круговые цилиндры); интегральные кривые у = Csin (x ≈ x0), z = Ccos (x≈x0) суть винтовые линии, расположенные на этих цилиндрах (см. рис.). Если известно k независимых П. и. Фi (x1, y1,..., уп) = Ci (i = 1,..., k; k < n) системы, то её порядок, вообще говоря, может быть понижен на k единиц; если k = n, то общий интеграл системы получается без интегрирования.

Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.

Пе́рвый интегра́л системы обыкновенных дифференциальных уравнений

\left\{ \begin{matrix} {x_1}"&=&a_1(x)\\ \dots&&\\ {x_n}"&=&a_n(x) \end{matrix} \right.,\quad x\in U — дифференцируемая функция $f: U\to\mathbb R$, $U\subseteq \mathbb R^n$, такая, что её производная по направлению векторного поля A(x) = (a(x), …, a(x))

L_A f= a_1(x)\frac{\partial f}{\partial x_1}+\dots+a_n(x)\frac{\partial f}{\partial x_n}=0 для всех x из области U. Другими словами, функция f постоянна на любом решении системы, содержащемся в области U.

Первые интегралы используются при изучении автономных систем дифференциальных уравнений и решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Пусть U — область в $\mathbb R^n$, A(x) = (a(x), …, a(x)) — дифференцируемое векторное поле в U, x ∈ U, A(x) ≠ 0. Тогда существует такая окрестность точки x, что система дифференциальных уравнений

\left\{ \begin{matrix} {x_1}"&=&a_1(x)\\ \dots&&\\ {x_n}"&=&a_n(x) \end{matrix} \right. имеет в этой окрестности ровно n − 1 функционально независимых первых интегралов.