Значение слова первообразная

первообразная функция, функция производная от которой равна данной функции. См. Интегральное исчисление , Интеграл .

Первообрáзной или примити́вной функцией данной функции f(x) называют такую F(x), производная которой равна f, то есть Fʹ(x) = f(x). Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Так, например, функция $F(x) = \frac{x^3}{3}$ является первообразной f(x) = x. Так как производная константы равна нулю , x будет иметь бесконечное количество первообразных, таких как x/3 + 45324 или x/3 − 3232 и ; таким образом, семейство первообразных функции x можно обозначить как F(x) = x/3 + C, где C — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения C.

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы . Если F — первообразная интегрируемой функции f, то:

$\int\limits_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a).$

Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница .

Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f(x) называют неопределённым интегралом (общим интегралом) f и записывают в виде интеграла без указания пределов:

∫f(x) dx

Если F — первообразная f, и функция f определена на каком-либо интервале , тогда каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда существует число C, такое что G(x) = F(x) + C для всех x. Число C называют постоянной интегрирования .

Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, одна из которых представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом:

$F(x) = \int\limits_a^x f(t)\,dt.$

Также существуют не непрерывные функции, которые имеют первообразную. Например, $f(x) = 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$ с f(0) = 0 не непрерывна при x = 0, но имеет первообразную $F(x) = x^2 sin\frac{1}{x}$ с F(0) = 0.

Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены , экспоненциальные функции , логарифмы , тригонометрические функции , обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:

$\int e^{-x^2}\,dx,\qquad \int \frac{\sin(x)}{x}\,dx,\qquad \int\frac{1}{\ln x}\,dx$.