Что значит "ортогональные траектории"

см. в ст. Изогональные траектории .

Ортогональные траектории — линии, пересекающие заданное семейство кривых под прямым углом. Если yʹ — угловой коэффициент касательной к ортогональной траектории, а yʹ — угловой коэффициент касательной к кривой данного семейства, то yʹ и yʹ должны в каждой точке удовлетворять условию ортогональности :

$y_1" = -{1\over y_2"}$

Пусть у нас есть семейство кривых g(x, y) = C, где C — константа. Тогда ортогональные траектории могут быть найдены путём решения системы дифференциальных уравнений :

∇f(x, y) ⋅ ∇g(x, y) = 0

Используя определение градиента , можно записать:

$\nabla f(x, y) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$

Таким образом:

$\nabla f(x, y) \cdot \nabla g(x, y) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right) \cdot \left(\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}\right) = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial g}{\partial y} = 0$