Что значит "общий интеграл"

обыкновенного дифференциального уравнения

F (x, у, у",..., y (n)) =0

≈ соотношение

F(х, у, C1,..., Cn) =0,

содержащее и существенных произвольных постоянных C1,..., Cn, следствием которого является данное дифференциальное уравнение (см. Дифференциальные уравнения ). Иными словами, это уравнение должно представлять собой результат исключения постоянных C1 (i = 1,..., n) из уравнений:

, (*)

причём эти постоянные существенны в том смысле, что процесс исключения их из системы (*) не может привести к дифференциальному уравнению, отличному от данного. О. и. тесно связан с общим решением . Если постоянным Ci, входящим в О. и., дать определённые значения, то получим частый интеграл. Неполное исключение постоянных Ci из системы (*) приводит к промежуточному интегралу

Fk(х, у, у",..., у (n-k)), C1,..., Ck = 0

(где 1 £ k ═£ n≈1); в частности, при k = 1≈ к первому интегралу . Геометрически О. и. представляет n-параметрическое семейство интегральных кривых.

Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.