Большая Советская Энциклопедия
поверхности S в данной её точке М ≈ линия пересечения S с плоскостью, проведённой через нормаль в точке М. С помощью Н. с. изучается искривление поверхности S в различных (касательных) направлениях, выходящих из точки М. Среди этих направлений имеются два (взаимно перпендикулярных) т. н. главных направления, для которых нормальная кривизна (т. е. кривизна соответствующего Н. с.) достигает наибольшего и наименьшего значений k1 и k2 (т.н. главные кривизны в данной точке); при этом кривизны Н. с. берутся со знаком + (или ≈), если направление вогнутости (см. Выпуклость и вогнутость ) сечения совпадает (противоположно) с положительным направлением нормали к поверхности. Нормальные кривизны поверхности в произвольных направлениях весьма просто выражаются через главные кривизны. Именно, кривизна kn Н. с., проведённого в направлении, составляющем угол j с первым из указанных выше главных направлений, связана с k1 и k2 соотношением (формула Эйлера):
kn = k1 cos2 j + k2 sin2 j.
С помощью кривизн Н. с. изучаются также кривизны наклонных сечений поверхности. Именно, кривизна k наклонного сечения плоскостью a, проходящей через данную касательную прямую а, выражается формулой Менье:
где j ≈ угол между плоскостью a и нормалью к поверхности, kn ≈ нормальная кривизна поверхности в направлении прямой а. См. также Дифференциальная геометрия , Поверхностей теория , Кривизна .