Что значит "непрерывная дробь"

НЕПРЕРЫВНАЯ ДРОБЬ (цепная дробь) один из важнейших способов изображения чисел. К непрерывной дроби, изображающей некоторое (нецелое) число ?, приходят, записывая это число в виде: ,где a0 - целое число и 0 ? 1/?1 1; далее, записывая ?1 в таком же виде: и продолжая этот процесс для ?2 и т.д., получают непрерывную дробь.

цепная дробь, один из важнейших способов представления чисел и функций. Н. д. есть выражение вида где a0 ≈ любое целое число, a1, a2,..., an,... ≈ натуральные числа, называемые неполными частными, или элементами, данной Н. д. К Н. д., изображающей некоторое число a, можно прийти, записывая это число в виде где a0 ≈ целое число и 0 < 1/a1 < 1, затем, записывая в таком же виде a1 и т. д. Число элементов Н. д. может быть конечным или бесконечным; в зависимости от этого Н. д. называют конечной или бесконечной. Н. д. (

1. часто символически обозначают так:

   [а0; a1, a2,..., an,...] (бесконечная Н. д.)═══(

2. или

   [а0; а1, a2,..., an] (конечная Н. д.).═══(

3. Конечная Н. д. всегда представляет собой рациональное число; обратно, каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной Н. д. (3); такое представление единственно, если потребовать, чтобы an ¹ 1. Н. д. [а0; a1, a2,..., ak] (k £ n), записанную в виде несократимой дроби pk/qk, называют подходящей дробью порядка k данной Н. д. (2). Числители и знаменатели подходящих дробей связаны рекуррентными формулами:

   pk+1 = ak+1pk+ pk-1, qk+1 = ak+1qk+ qk-1,

   которые служат основанием всей теории Н. д. Из этих формул непосредственно вытекает важное соотношение

   pkqk-1 ≈ qkpk-1 = ╠ 1.

   Для каждой бесконечной Н. д. существует предел

   называемый значением данной Н. д. Каждое иррациональное число является значением единственной бесконечной Н. д., получаемой разложением a указанным выше образом, например

   (е ≈ 1)/2 = [0, 1,6, 10,14, 18,...];

   квадратичные иррациональности разлагаются в периодические Н. д.

   Основное значение Н. д. для приложений заключается в том, что подходящие дроби являются наилучшими приближениями числа a, то есть, что для любой другой дроби m/n, знаменатель которой не более gk имеет место неравенство |na ≈ m| > |gka ≈ pkl; при этом |qk. ≈ pk| < 1/qk+1. Нечётные подходящие дроби больше a, а чётные ≈ меньше. При возрастании k нечётные подходящие дроби убывают, а чётные возрастают.

   Н. д. используются для приближения иррациональных чисел рациональными. Например, известные приближения 22/7, 355/113 для числа p (отношения длины окружности к диаметру) суть подходящие дроби для разложения p в Н. д. Следует отметить, что первое доказательство иррациональности чисел е и p было дано в 1766 немецким математиком И. Ламбертом с помощью Н. д. Французский математик Ж. Лиувилль доказал: для любого алгебраического числа a степени n можно найти такую постоянную l, что для любой дроби x/y выполняется неравенство |a ≈ x/y| > l/уn. С помощью Н. д. можно построить числа a такие, что разность |a ≈ pk/qk| делается меньше a/gk, какую бы постоянную l мы ни взяли. Так, используя Н. д., можно строить трансцендентные числа. Недостатком Н. д. является чрезвычайная трудность арифметических действий над ними, равносильная практической невозможности этих действий; например, зная элементы двух дробей, мы не можем сколько-нибудь просто получить элементы их суммы или произведения.

   Н. д. встречаются уже в 16 в. у Р. Бомбелли . В 17 в. Н. д. изучал Дж. Валлис ; ряд важных свойств Н. д. открыл Х. Гюйгенс , занимавшийся ими в связи с теорией зубчатых колёс. Многое сделал для теории Н. д. Л. Эйлер в 18 в.

   В 19 в. П. Л. Чебышев , А. А. Марков и др. применили Н. д., элементами которых являются многочлены, к изучению ортогональных многочленов .

   Лит.: Чебышев П. Л., Полное собрание сочинений, 2 изд., т. 1, М. ≈ Л., 1946; Хинчин А. Я., Цепные дроби, 2 изд., М. ≈ Л., 1949; Эйлер Л., Введение в анализ бесконечно малых, пер. с лат., т. 1, М. ≈ Л., 1936; Стилтьес Т. И., Исследования о непрерывных дробях, пер. с франц., Хар. ≈ К., 1936; Perron О., Die Lehre von den Kettenbrüchen, 2 Aufl., Lpz. ≈ B., 1929; Wall Н. S., Analytic theory of continued fractions, Toronto ≈ N. Y. ≈ L., 1948.

Непрерывная дробь (или цепная дробь) — это конечное или бесконечное математическое выражение вида

$[a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots] = a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\ldots}}}\;$

где a есть целое число , а все остальные a — натуральные числа . При этом числа a, a, a, a, ⋯ называются неполными частными или элементами цепной дроби.

Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби . Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда , когда оно рационально .

Главное назначение непрерывных дробей состоит в том, что они позволяют находить хорошие приближения вещественных чисел в виде обычных дробей. Непрерывные дроби широко используются в теории чисел и вычислительной математике , а их обобщения оказались чрезвычайно полезны в математическом анализе и других разделах математики. Используются также в физике, небесной механике , технике и других прикладных сферах деятельности.