Большая Советская Энциклопедия
метод, применяемый в математике для отыскания коэффициентов выражений, вид которых заранее известен. Так, например, на основании теоретических соображений дробь
может быть представлена в виде суммы
где А, В и С ≈ коэффициенты, подлежащие определению. Чтобы найти их, приравнивают второе выражение первому:
и, освобождаясь от знаменателя и собирая слева члены с одинаковыми степенями х, получают:
(А + В + С) х2 + (В - С) х - А = 3x2 - 1.
Так как последнее равенство должно выполняться для всех значений х, то коэффициенты при одинаковых степенях х справа и слева должны быть одинаковыми. Т. о., получаются три уравнения для определения трёх неизвестных коэффициентов: А + В + С = 3, В - С = 0, А = 1, откуда А = В = С = 1. Следовательно,
справедливость этого равенства легко проверить непосредственно. Пусть ещё нужно представить дробь
в виде
где А, В, С и D ≈ неизвестные рациональные коэффициенты. Приравниваем второе выражение первому
или, освобождаясь от знаменателя, вынося, где можно, рациональные множители из-под знака корней и приводя подобные члены в левой части, получаем:
Но такое равенство возможно лишь в случае, когда равны между собой рациональные слагаемые обеих частей и коэффициенты при одинаковых радикалах. Т. о., получаются четыре уравнения для нахождения неизвестных коэффициентов А, В, С и D: А - 2B + 3C = 1, ≈А + В + 3D = 1, A + C - 2D = ≈1, В - С + D = 0, откуда A = 0, В = ≈1/2, С = 0, D = 1/2, т. е.
В приведённых примерах успех Н. к. м. зависел от правильного выбора выражений, коэффициенты которых отыскивались. Если бы в последнем примере вместо выражения
было взято выражение
то, рассуждая, как и выше, получили бы для трёх коэффициентов А, В и С четыре уравнения А - 2В + 3С = 1, ≈A - B = 1, A + C = ≈1, В - С = 0, которым нельзя удовлетворить никаким выбором чисел А, В и С.
Особенно важны применения Н. к. м. к задачам, в которых число неизвестных коэффициентов бесконечно. К ним относятся задача деления степных рядов, задача нахождения решения дифференциального уравнения в виде степенного ряда и др. Пусть, например, нужно найти решение дифференциального уравнения у" + ху = 0 такое, что у = 0 и y" = 1 при х = 0. Из теории дифференциальных уравнений следует, что такое решение существует и имеет вид степенного ряда
у = х + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + ×××.
Подставляя это выражение вместо у в правую часть уравнения, а вместо y" ≈ выражение
2c2 + 3╥2с3х + 4╥3с4х2 + 5╥4с5х3 + ×××,
затем, умножая на х и соединяя члены с одинаковыми степенями х, получают
2c2 + 3╥2c3x + (1 + 4╥3c4) x2 + (c2 + 5╥4c5) x3 + ××× = 0,
откуда при определении неизвестных коэффициентов получается бесконечная система уравнений: 2c2 = 0; 3╥2с3 = 0; 1 + 4╥3c4 = 0; c2 + 5╥4c5 = 0;...
Решая последовательно эти уравнения,
т. е.
Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 1, 23 изд., М., 1974; т. 2, 20 изд., М., 1967; Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.