Большая Советская Энциклопедия
Логические операции
, логические связки, логические операторы, функции, преобразующие высказывания или пропозициональные формы (т. е. выражения логики предикатов , содержащие переменные и обращающиеся в высказывания при замене последних какими-либо конкретными их значениями) в высказывания или пропозициональные формы. Л. о. можно разделить на две основные группы: кванторы и пропозициональные (сентенциональные) связки. Кванторы играют для формализованных языков математической логики ту же роль, которую играют для естественного языка т. н. «количественные» («кванторные») слова: «все», «любой», «некоторый», «существует», «единственный», «не более (менее) чем», количественные числительные и т. п. Характерной особенностью кванторов является ≈ в случае нефиктивного их применения ≈ понижение числа свободных переменных в преобразуемом выражении: применение квантора к выражению, содержащему n свободных переменных, приводит, вообще говоря, к выражению, содержащему n ≈ 1 свободную переменную, в частности, пропозициональную форму с одной свободной переменной применение квантора (по этой переменной) преобразует в высказывание.
Пропозициональные связки (в отличие от кванторов, введение которых знаменует переход к логике предикатов) употребляются уже в самой элементарной части логики ≈ в логике высказываний . В формализованных логических и логико-математических языках они выполняют функции, вполне аналогичные функциям союзов и союзных слов, употребляемых для образования сложных предложений в естественных языках. Так, отрицание ù истолковывается как частица «не», конъюнкция & истолковывается как союз «и», дизъюнкция ═≈ как (неразделительное) «или», импликация É ≈ как оборот «если..., то...», эквиваленция ~ ≈ как оборот «тогда и только тогда, когда» и т. п. При этом, однако, соответствие между Л. о. и средствами естественного языка отнюдь не взаимно однозначно. Во-первых, потому, что высказывания, по определению, могут принимать лишь два «истинностных значения»: «истину» («и») и «ложь» («л»), так что пропозициональные Л. о. можно рассматривать как различные функции, отображающие некоторую область из двух элементов в себя; поэтому число различных n-местных (т. е. от n аргументов) Л. о. определяется из чисто комбинаторных соображений ≈ оно равно 2n. Во-вторых, в формализованных языках математической логики игнорируются любые смысловые (и тем более стилистические) оттенки значений союзов, кроме тех, что непосредственно определяют истинностное значение получающегося сложного предложения. В свою очередь, в качестве Л. о. рассматриваются подчас и такие связки, содержательные аналоги которых в обычном языке, как правило, не имеют специальных наименований; таков, например, «штрих Шеффера» ½ в нижеследующей таблице, где приведён полный перечень всех ═двуместных пропозициональных Л. о. (в первых двух столбцах помещены истинностные значения некоторых «исходных» высказываний р и q, в остальных ≈ значения высказываний, образуемых из них посредством указанных сверху Л. о.).
Тождественная истина
Тождественная ложь
P
Отррицание p
q
Отрицание q
Конъюнкция
Антиконъюнкция (штрих Шеффера)
Дизъюнкция
Антидизъюнкция
Эквиваленция
Антиэквиваленция
Импликация
Антиимпликация
Обратная импликация
Обратная антиимпликация
p
q
и
л
p
ù p
q
ù q
p&q
P÷q
pÚq
pq
p~q
pq
pÉq
pq
pÌq
pËq
и
и
и
л
и
л
и
л
и
л
и
л
и
л
и
л
и
л
и
л
и
л
и
л
л
и
л
и
и
л
л
и
л
и
и
л
л
и
и
л
л
и
и
л
л
и
и
л
л
и
и
л
л
и
л
л
и
л
л
и
л
и
л
и
л
и
и
л
и
л
и
л
Поскольку в таблице сведены все мыслимые двуместные Л. о., соответствующие всевозможным «четырехбуквенным словам» из «и» и «л», записанным по вертикали в её столбцах, то естественно, что среди этих 17 Л. о. есть и «вырожденные» случаи: первые две «связки» вообще не зависят ни от каких «аргументов» ≈ это константы «и» и «л» (понятно, что таких «нульместных» связок имеется ровно ), далее идут ═«одноместных связок» (каждая из которых зависит лишь от одного из аргументов р или q) и только затем уже 16≈2≈4 = 10 собственно двуместных Л. о. Можно далее рассматривать ═трёхместных Л. о. и т. д.; оказывается, однако, что уже небольшой части приведённых Л. о. достаточно для того, чтобы посредством их суперпозиций (т. е. последовательного применения) выразить любые n-местные Л. о. для любого натурального n. Такими функционально полными наборами связок являются, например, ù и &, ù и , ù и É и даже одна-единственная связка ½. Поскольку логика высказываний может быть изоморфно (см. Изоморфизм ) интерпретирована в терминах логики классов , для каждой Л. о. имеется аналогичная теоретико-множественная операция; совокупность таких операций над множествами (классами) образует т. н. алгебру множеств. См. Алгебра логики .
Лит.: Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, ╖╖ 05, 06 и 15.
Ю. А. Гастев.