Значение слова логарифм

м. математ. Если под рядом чисел геометрической прогрессии (лествицы) выставить ряд отвечающих им чисел арифметической прогрессии, то каждое из последних будет логарифмом дружки своей, в первом порядке; сим способом умножение обращают в сложение, деление в вычитанье, что и облегчает выкладки. Логарифмический, к логарифмам относящ. Логарифмика ж. кривая линия, в коей ординаты отвечают логарифмам абсцисс; логистика.

логарифма, м. (от греч. logos - слово и arithmos - число) (мат.). Показатель степени, в к-рую надо возвести число, называемое основанием, чтобы получить данное число.

-а, м. В математике: показатель степени, в к-рую надо возвести число, называемое основанием, чтобы получить данное число. Таблица логарифмов.

прил. логарифмический, -ая, -ое. Логарифмическая линейка (счетный инструмент).

м. Показатель степени, в которую нужно возвести число, называемое основанием, чтобы получить данное число (в математике).

ЛОГАРИФМ данного числа N при основании а показатель степени у, в которую нужно возвести число а, чтобы получить N; таким образом, N = ay. Логарифмом обозначается обычно logaN. Логарифм с основанием е ? 2,718... называется натуральным и обозначается lnN. Логарифм с основанием 10 называется десятичным и обозначается lgN. Равенство у ? logax определяет логарифмическую функцию. Основные свойства логарифма позволяют заменить умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня более простыми действиями сложения, вычитания, умножения и деления. Логарифмы открыты шотландским математиком Дж. Непером и швейцарским математиком Й. Бюрги в нач. 17 в. Термин "логарифм" возник из сочетания греческих слов logos - отношение, соотношение и arithmos - число.

числа N по основанию а, показатель степени m, в которую следует возвести число а (основание Л.), чтобы получить N; обозначается logaN. Итак, m = logaN, если ам = N. Например, log10 100 = 2; log21/32 = - 5; loga 1 = 0, т. к. 100 = 102, 1/32 = 2-5, 1 = a0. При отрицательных а бесконечно много положительных чисел не имело бы действительных логарифмов, поэтому берётся а > 0 и а ¹ 1. Из свойств логарифмической функции вытекает, что каждому положительному числу соответствует при данном основании единств. действительный Л. (логарифмы отрицательных чисел являются комплексными числами). Основные свойства Л.: loga(MN) = logaM + logaN; logaM/N = logaM - logaN; logaNk = k logaN; logalogaN позволяют сводить умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их Л., а возведение в степень и извлечение корня ≈ к умножению и делению Л. на показатель степени или корня, т. е. к более простым действиям. Когда основание а фиксировано, говорят об определённой системе Л. В соответствии с десятичным характером нашего счёта наиболее употребительны десятичные Л. (а = 10), обозначаемые lg N. Для рациональных чисел, отличных от 10k с целым k, десятичные Л. суть трансцендентные числа , которые приближённо выражают в десятичных дробях. Целую часть десятичного Л. наз. характеристикой, дробную ≈ мантиссой. Так как lg(10kN) = k + lgN, то десятичные Л. чисел, отличающихся множителем 10k, имеют одинаковые мантиссы и различаются лишь характеристиками. Это свойство лежит в основе построения таблиц Л., которые содержат лишь мантиссы Л. целых чисел (см. Логарифмические таблицы ). Большое значение имеют также натуральные Л., основанием которых служит трансцендентное число e = 2,71828...; их обозначают lnN. Переход от одного основания Л. к другому совершается по формуле logbN = logaN/logab, множитель 1/logab называется модулем перехода (перевода) от основания а к основанию b. Для перехода от натуральных Л. к десятичным или обратно имеем lnN = IgN/lge, lgN = InN/ln10; 1/lge = 2,30258; 1/ln10 = 0,43429.... Историческая справка. Открытие Л. было связано в первую очередь с быстрым развитием астрономии в 16 в., уточнением астрономических наблюдений и усложнением астрономических выкладок. Авторы первых таблиц Л. исходили из зависимости между свойствами геометрической прогрессии и составленной из показателей степени её членов арифметической прогрессии. Эти зависимости, частично подмеченные ещё Архимедом (3 в. до н. э.), были хорошо известны Н. Шюке (1484) и немецкому математику М. Штифелю (1544). Первые логарифмические таблицы были составлены одновременно и независимо друг от друга Дж. Непером (1614, 1619) и швейцарским математиком И. Бюрги (1620). Важный шаг в теоретическом изучении Л. сделал бельгийский математик Григорий из Сен-Винцента (1647), обнаруживший связь Л. и площадей, ограниченных дугой гиперболы, осью абсцисс и соответствующими ординатами. Представление Л. бесконечным степенным рядом дано Н. Меркатором (1668), нашедшим, что In(1+x) = x Вскоре затем Дж. Грегори (1668) открыл разложение ln. Этот ряд очень быстро сходится, если М = N + 1 и N достаточно велико; поэтому он может быть использован для вычисления Л. В развитии теории Л. большое значение имели работы Л. Эйлера . Им установлено понятие о логарифмировании как действии, обратном возведению в степень. Термин «Л.» предложил Дж. Непер; он возник из сочетания греческих слов logos (здесь ≈ отношение) и arithmos (число); в античной математике квадрат, куб и т. д. отношения а/b называются «двойным», «тройным» и т. д. отношением. Т. о., для Непера слова «lógu arithmós» означали «число (кратность) отношения», то есть Л. у Дж. Непера ≈ вспомогательное число для измерения отношения двух чисел. Термин «натуральный логарифм» принадлежит Н. Меркатору, «характеристика» ≈ английскому математику Г. Бригсу, «мантисса» в нашем смысле ≈ Л. Эйлеру, «основание» Л. ≈ ему же, понятие о модуле перехода ввёл Н. Меркатор. Современное определение Л. впервые дано английским математиком В. Гардинером (1742). Знак Л. ≈ результат сокращения слова «Л.» ≈ встречается в различных видах почти одновременно с появлением первых таблиц [напр., Log ≈ у И. Кеплера (1624) и Г. Бригса (163

1. , log и 1. ≈ Б. Кавальери (1632, 1643)].

   Лит.: Маркушевич А. И., Площади и логарифмы, М. ≈ Л., 1952; История математики, т. 2, М., 1970.

Логари́фм числа b по основанию a определяется как показатель степени , в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b. Обозначение: logb, произносится: «логарифм b по основанию a».

Из определения следует, что нахождение x = logb равносильно решению уравнения a = b. Например, log8 = 3, потому что 2 = 8.

Вычисление логарифма называется логарифмированием. Числа a, b чаще всего вещественные , но существует также теория комплексных логарифмов.

Логарифмы обладают уникальными свойствами, которые определили их широкое использование для существенного упрощения трудоёмких вычислений. При переходе «в мир логарифмов» умножение заменяется на значительно более простое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня преобразуются соответственно в умножение и деление на показатель степени. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов, «сократив труд астронома, удвоило его жизнь».

Определение логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций ) впервые опубликовал в 1614 году шотландский математик Джон Непер . Логарифмические таблицы, расширенные и уточнённые другими математиками, повсеместно использовались для научных и инженерных расчётов более трёх веков, пока не появились электронные калькуляторы и компьютеры.

Со временем выяснилось, что логарифмическая функция y = logx незаменима и во многих других областях человеческой деятельности: решение дифференциальных уравнений , классификация значений величин (например, частота и интенсивность звука ), аппроксимация различных зависимостей, теория информации , теория вероятностей Эта функция относится к числу элементарных , она обратна по отношению к показательной функции . Чаще всего используются вещественные логарифмы с основаниями 2 ( двоичный ), e ( натуральный логарифм ) и 10 ( десятичный ).