Что значит "линия (геометрич. понятие)"

Линия (от лат. linea), геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно. 1) В элементарной геометрии рассматриваются прямые Л., отрезки прямых, ломаные Л., составленные из отрезков, и некоторые кривые Л. Каждый вид кривых Л. определяется тем или иным специальным способом (например, окружность определяется как геометрическое место точек, имеющих заданное расстояние R от заданной точки О ≈ центра окружности). Иногда в учебниках дают определение Л. как границы куска поверхности (поверхность определяется при этом как граница тела) или как траектории движущейся точки. Но в рамках элементарной геометрии эти определения не получают отчётливой формулировки. 2) Представление о Л. как траектории движущейся точки может быть сделано вполне строгим при помощи идеи параметрического представления Л. Например, вводя на плоскости прямоугольные координаты (x, у), можно параметрически задать окружность радиуса R с центром в начале координат уравнениями x = R cos t, y = R sin t. Когда параметр t пробегает отрезок 0 £ t £ 2p, точка (х, у) описывает окружность. Вообще, Л. на плоскости задают параметрическими уравнениями вида x = j (t), у = (t), где j (t), (t) ≈ произвольные функции, непрерывные на каком-нибудь конечном или бесконечном интервале D числовой оси t. С каждым значением параметра t (из интервала D) уравнения (*) сопоставляют некоторую точку M, координаты которой определяются этими уравнениями. Л., заданная параметрическими уравнениями (*) есть множество точек, соответствующих всевозможным значениям t из D, при условии, что эти точки рассматриваются в определенном порядке, именно: если точка M1 соответствует значению параметра t1, а точка M2 ≈ значению t2, то M1 считается предшествующей M2, если t1 < t2 При этом точки, отвечающие различным значениям параметра, всегда считаются различными. Аналогично, в трёхмерном пространстве Л. задаётся параметрически тремя уравнениями вида x = j (t), у = (t), z = c (t), где j (t), (t), c (t) ≈ произвольные функции, непрерывные на каком-нибудь интервале. В произвольном топологическом пространстве Т (которое, в частности, может быть плоскостью, поверхностью, обычным трёхмерным пространством, функциональным пространством и т. п.) Л. параметрически задают уравнением вида P = j (t), где j ≈ функция действительного переменного t, непрерывная на каком-либо интервале, значения которой суть точки пространства Т. Считают, что два параметрических представления задают одну и ту же Л., если они определяют один и тот же порядок следования её точек (в смысле, указанном выше). В анализе и топологии рассматривают обычно случай, когда область изменения параметра t есть отрезок а £ t £ b. В этом случае условие того, чтобы два параметрических представления Р = j (t), a £ t £ b P = j1(t1), a1£ t1£ b1, изображали одну и ту же Л., заключается в существовании непрерывной и строго возрастающей функции t1 =f(t), для которой f(a) = a1, f(b) = b1, j (t) = j1[f(t)]. Такое понимание термина «Л.» наиболее естественно в большинстве вопросов анализа (например, в теории криволинейных интегралов) и механики. Так как Л. здесь рассматривается вместе с порядком, в котором пробегает её точки переменная точка М при возрастании t, то при этом естественно возникает вопрос о числе прохождений переменной точки Л. через какую-либо точку пространства. Кроме простых точек, проходимых один раз, Л. может иметь кратные точки, которые проходятся несколько раз (отвечающие различным значениям параметра). Например, при изменении t в пределах ≈ ¥ < t < ¥ точка с координатами , описывает строфоиду (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», ╧ 5), попадая в положение х = 0, у = 0 два раза при t = ≈ 1 и t = +

1. 3) Из аналитической геометрии известен и другой способ задания Л. на плоскости уравнением

   F(x, y) = 0;

   в пространстве ≈ двумя уравнениями

   F(x, у, z) = 0, G(x, y, z) = 0.

   Ограничиваясь случаем плоскости, укажем лишь, как строится понятие алгебраической Л. (кривой) ≈ Л., определяемой уравнением

   F(x, y) = 0,

   где F(x, у) ≈ целая алгебраическая функция , т. е. многочлен како-либо степени n ³ 1. В этом случае считают, что два многочлена F1(x, у) и F2(x, у) определяют одну и ту же алгебраическую Л. в том и только в том случае, когда существует такая постоянная с ¹ 0, что выполняется тождественно соотношение

   F1(x, y) = cF2(x, у).

   Таким образом, все многочлены, определяющие одну и ту же Л., имеют одну и ту же степень n, называемую порядком соответствующей Л. Например, в аналитической геометрии принято считать, что уравнение

   (х - у)2 = 0

   определяет Л. второго порядка, а именно, дважды взятую прямую х ≈ у = 0.

   В связи с последним примером необходимо заметить, однако, что часто целесообразно ограничиваться рассмотрением неприводимых алгебраических Л., т. е. таких Л., для которых многочлен не допускает представления F = GH, где G и Н ≈ отличные от постоянных многочлены. Далее, в пункте 4, имеется в виду только этот случай.

   Говорят, что точка (x0, y0) кривой F(x, у) = 0 имеет кратность m, если разложение F(x, у) по степеням x = х ≈ x0, h = у ≈ y0 начинается с членов степени m (по совокупности переменных x и h). В случае m = 2, т. е. в случае двойной точки

   F(x, у) = а11(х ≈ x0)2 + 2а12(х ≈ x0) (у ≈ y0) + a22(y ≈ y0)2 + ...,

   где многоточие означает, что далее следуют члены высших порядков. При помощи дискриминанта

   d = a11a22 ≈ а122

   можно определить тип двойной точки (см. Особые точки ).

   4) Часто, особенно при изучении алгебраической Л., целесообразно стать на точку зрения комплексной проективной геометрии, т. е. рассматривать, наряду с точками евклидовой действительной плоскости (или пространства), точки бесконечно удалённые и мнимые. Только при таком подходе (и надлежащем учёте кратности пересечения) становится верным, например, утверждение, что две Л. порядков n и m пересекаются в mn точках. В случае m = 1 это приводит к возможности определить порядок Л. как число n точек её пересечения с прямой.

   С проективной точки зрения естественно задавать Л. на плоскости однородным уравнением

   F(x1, x2, x3) = 0

   между однородными координатами x1, x2, x3 её точек. В силу принципа двойственности с этим заданием равноправно задание Л. уравнением

   F(x1, x2, x3) = 0,

   связывающим однородные координаты прямых, касающихся Л. Таким образом, наряду с порядком Л. (степенью уравнения F = 0) естественно возникает понятие класса Л. ≈ степени уравнения F = 0. Класс алгебраических Л. можно также определить как число касательных, которые можно провести к Л. из произвольной точки. О параметрическом представлении Л. см. также Уникурсальные кривые .

   5) Рассмотренные выше (в пунктах 2≈4) уточнения и обобщения понятия Л. существенно связаны с соответствующим алгебраическим и аналитическим аппаратом. В отличие от этого, современная топология выдвинула задачу уточнения представления о Л. как о множестве точек, независимо от алгебраического или аналитического способов задания этого множества.

   Если исходить из параметрического задания Л. в виде непрерывной функции P = j (t), где t пробегает отрезок а £ t £ b, но интересоваться только полученным множеством точек без учёта порядка их следования, то приходят к понятию Л., сформулированному в 80-x гг. 19 в. К. Жорданом (см. Жордана кривая ). Оказывается, что таким непрерывным образом отрезка может быть любой локально связный континуум, в частности квадрат, треугольник, куб и т. п. (см. Пеано кривая ). Поэтому теперь обычно предпочитают говорить не о Л. в смысле Жордана, а о локально связных, или жордановых, континуумах. Взаимно однозначный непрерывный образ отрезка называют простой дугой, или жордановой дугой. Взаимно однозначный непрерывный образ окружности называют простой замкнутой Л. Простые дуги и простые замкнутые Л. не исчерпывают, однако, точечных множеств, заслуживающих наименования Л.

   Избегая и чрезмерной общности, и чрезмерного сужения понятия Л., в современной топологии пользуются понятием Л., введённым в 1921 П. С. Урысоном , который определяет Л. (кривую) как произвольный континуум размерности единица. Континуум имеет размерность единица, если при любом e > 0 он может быть представлен в виде суммы конечного числа замкнутых множеств диаметра, меньшего e, обладающих тем свойством, что никакие три из этих замкнутых множеств не имеют общей точки (см. также Размерность в геометрии). Континуум, лежащий на плоскости, будет Л. в смысле Урысона тогда и только тогда, когда он не содержит внутренних точек. Этим свойством характеризовал ранее (70-е гг. 19 в.) Л., лежащие на плоскости, Г. Кантор . Хотя определение Кантора применимо только к Л., лежащим на плоскости, иногда и общие Л. в смысле Урысона называют «канторовыми кривыми».

   Л. Н. Колмогоров.

   6) Ещё математики древности изучали линии второго порядка ( эллипс , гиперболу и параболу ). Ими же был рассмотрен ряд отдельных замечательных алгебраических Л. более высокого порядка, а также некоторые трансцендентные (неалгебраические) Л. Систематическое изучение Л. и их классификация стали возможными с созданием аналитической геометрии (Р. Декарт ).

   Из Л. третьего порядка наиболее известны:

   Декартов лист (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», ╧ 1). уравнение в прямоугольных координатах: x3 + y3 ≈ 3аху = 0. Впервые кривая определяется в письме Р. Декарта к П. Ферма в 1638. Полная форма кривой с наличием асимптоты, проходящей через точки ( ≈а, 0) и (0, ≈а), была определена позднее (1692) Х. Гюйгенсом и И. Бернулли . Название «декартов лист» установилось в начале 18 в.

   Локон Аньези (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», ╧ 2). Пусть имеется круг с диаметром OC = -а и отрезок BDM, построенный так, что ОВ : BD = OC : ВМ; геометрическое место точек М представляет собой локон Аньези (или верзиеру). уравнение в прямоугольных координатах: у = a3/(a2 + x2). Исследование этой Л. связано с именем итальянской женщины-математика Марии Аньези (1748).

   Кубическая парабола (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», ╧ 3). уравнение в прямоугольных координатах: у = x3.

   Полукубическая парабола (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», ╧ 4), парабола Нейля. уравнение в прямоугольных координатах: у = -сх3/

2. Названа по имени английского математика У. Нейля (1657), нашедшего длину её дуги. Строфоида (от греч. stróphos ≈ кручёная лента и éidos ≈ вид) (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», ╧ 5). Пусть имеется неподвижная прямая АВ и точка С вне её на расстоянии CO = а; вокруг С вращается прямая, пересекающая АВ в переменной точке N. Если от точки N отложить по обе стороны прямой АВ отрезки NM = NM" = NO, то геометрическое место точек М и М" для всех положений вращающегося луча CN и есть строфоида. Уравнение в прямоугольных координатах: ; в полярных координатах: r = ≈a cos 2j/cosj. Впервые строфоиду исследовал Э. Торричелли (1645), название было введено в середине 19 в. Циссоида Диоклеса (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», ╧ 6) (греч. kissoeides, от kissós ≈ плющ и éidos ≈ вид), геометрическое место точек М, для которых OM = PQ (Р ≈ произвольная точка производящего круга с диаметром а). Уравнение в прямоугольных координатах: y2 = х3/(а ≈ х); в полярных координатах: r = asin2 j/cos j. Древние греки рассматривали только ту часть циссоиды, которая находится внутри производящего круга. Вместе с дугой окружности эта часть образует фигуру, напоминающую лист плюща (откуда название); наличие бесконечных ветвей было установлено в 17 в. французским математиком Ж. П. Робервалем и независимо от него бельгийским математиком Р. Ф. Слюзом. Из Л. четвёртого и более высоких порядков наиболее известны: Кардиоида (от греч. kardía ≈ сердце и éidos ≈ вид) (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», ╧ 1), кривая, описываемая какой-либо точкой М окружности радиуса а, катящейся без скольжения по неподвижной окружности того же радиуса. уравнение в прямоугольных координатах: (x2 + y2 ≈ 2ах)2 = 4a(x2 + y2); в полярных координатах: r = 2а (1 + cos j). Конхоида Никомеда (от греч. konchoeides ≈ похожий на раковину) (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», ╧ 2), кривая, получающаяся при увеличении или уменьшении каждого радиус-вектора точек данной прямой на одну и ту же величину d, т. о., OM = OP ≈ d или OM" = OP + d. Если расстояние от полюса О до данной прямой равно а, то уравнение в прямоугольных координатах: (х ≈ а)2(х2 + y2) ≈ d2x2 = 0, в полярных координатах: r = a/cosj ╠ d. Впервые рассматривалась древнегреческим геометром Никомедом (около 250≈150 до нашей эры), который использовал её для решения задач о трисекции угла и удвоении куба . Лемниската Бернулли (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», ╧ 3) (от лат. lemniscatus, буквально ≈ украшенный лентами), кривая, имеющая форму восьмёрки; геометрическое место точек, произведение расстояний которых от фокусов F1 ( ≈ а, 0) и F2 (а, 0) равно а2. уравнение в прямоугольных координатах: (x2 + y2)2 ≈ 2a2(x2 ≈ y2) =0, в полярных координатах: r2 = 2а2 cos 2j. Впервые рассматривалась Я. Бернулли (1694). Лемниската является частным случаем овалов Кассини и синус-спиралей. Овалы Декарта (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», ╧ 4), геометрические места точек М, расстояния которых от двух фиксированных точек F1 и F2, называемых фокусами, умноженные на данные числа, имеют постоянную сумму с, то есть mMF1 + + nMF2 = с. уравнение в прямоугольных координатах: (x + y▓▓ ≈2rx)2 ≈ l2(x2 + y2) ≈ k = 0, где r, l и k ≈ некоторые постоянные, связанные с параметрами m, n и d; в полярных координатах: (n2 ≈ m2)(2 + 2((mc ≈ n2d cos () + n2d2 ≈ с2 = 0. Помимо фокусов F1 и F2, имеется и третий фокус F3, равноправный с каждым из них. При m = 1, n = 1 овал Декарта превращается в эллипс; при m = 1 и n = ≈1 ≈ в гиперболу. Частным случаем овала является также улитка Паскаля. Овалы впервые исследовались Р. Декартом (1637). Овалы Кассини (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», ╧ 5), геометрические места точек М, произведение расстояний которых от двух данных точек постоянно. Пусть F1 и F2 точки на оси абсцисс, F1F2 = 2b, а произведение MF1×MF2 = а2. уравнение в прямоугольных координатах: (x2 + y2)2 ≈ 2b2 (a2 ≈ y2) = a4 ≈ b4. Если , то овал Кассини ≈ выпуклая кривая; если b < a < , то кривая имеет вид овала с двумя утолщениями; при а = b овал Кассини превращается в лемнискату, наконец, при b > а овал Кассини является двусвязной кривой. Впервые рассмотрена Дж. Кассини (17 в.). Улитка Паскаля (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», ╧ 6), геометрическое место точек М и M", расположенных на прямых пучка (центр которого О лежит на окружности радиуса R) на расстоянии а по обе стороны от точки Р пересечения прямых с окружностью; т. о., PM = PM" = а. уравнение в прямоугольных координатах: (x2 + y2 ≈ 2Rx)2 ≈ а2(х2 + y2) = 0, в полярных координатах: r = 2R cos j + а. При а = 2R петля стягивается в точку, в этом случае улитка Паскаля превращается в кардиоиду. Название по имени французского учёного Э. Паскаля (1588≈1651), впервые изучавшего её. Астроида (от греч. ástron ≈ звезда и éidos ≈ вид) (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», ╧ 7), кривая, описываемая точкой подвижной окружности, которая касается изнутри неподвижной окружности вчетверо большего радиуса и катится по ней без скольжения. уравнение в прямоугольных координатах: x2/3 + y2/3 = а2/3, где а ≈ радиус неподвижной окружности. Астроида ≈ линия 6-го порядка. Розы (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», ╧ 8), кривые, полярное уравнение которых: r = a sin mj; если m ≈ рациональное число, то розы ≈ алгебраической Л. чётного порядка. При m нечётном роза состоит из от лепестков, при m чётном ≈ из 2m лепестков; при m рациональном лепестки частично покрывают друг друга. Синусоидальные спирали, синус-спирали (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», ╧ 9), кривые, полярное уравнение которых rm = am cosmj; если m ≈ рациональное число, то эти Л. ≈ алгебраические. Частные случаи: m = 1 ≈ окружность, m = ≈ 1 ≈ прямая, m = 2 ≈ лемниската Бернулли, m = ≈2 ≈ равнобочная гипербола, m = 1/2 ≈ кардиоида, m = ≈ 1/2 ≈ парабола. При целом m > 0 Л. состоит из m лепестков, каждый из которых лежит внутри угла, равного p/m, при рациональном m > 0 лепестки могут частично покрывать друг друга; если m < 0, то Л. состоит из от бесконечных ветвей. Большой интересный класс составляют трансцендентные Л. К ним относятся графики тригонометрических функций (синусоида, тангенсоида), логарифмической функции , показательной функции , гиперболических функций , а также следующие Л.: Квадратриса (см. рис. «Трансцендентные кривые», ╧ 1). Пусть прямая MN равномерно вращается против часовой стрелки вокруг точки О, а прямая А"В" равномерно движется справа налево, оставаясь параллельной OC. Далее, пусть за время движения A"B" от AB до OC прямая MN поворачивается на прямой угол и переходит из положения OA = r в положение OC. Геометрическое место точек Р пересечения прямых MN и A"B" и есть квадратриса. уравнение в прямоугольных координатах: ; в полярных координатах: . Часть квадратрисы, заключённая в квадрате OABC, была известна древнегреч. математикам. Открытие квадратрисы приписывается Гиппию Элидскому (5 в. до н. э.), использовавшему её для решения задачи о трисекции угла. Динострат (4 в. до н. э.) с помощью квадратрнсы выполнил квадратуру круга. Трактриса (см. рис. «Трансцендентные кривые», ╧ 2), кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания М до точки Р пересечения с данной прямой есть величина постоянная, равная а. Уравнение в прямоугольных координатах: . Цепная линия (см. рис. «Трансцендентные кривые», ╧ 3), кривая, форму которой принимает гибкая однородная и нерастяжимая тяжёлая нить, концы которой закреплены в двух точках. уравнение в прямоугольных координатах: у = a = а (ex/a + е-х/a)/2. Циклоида (от греч. kykloeides ≈ кругообразный) (см. рис. «Трансцендентные кривые», ╧ 4), кривая, которую описывает точка Р, расположенная на расстоянии а от центра круга радиуса r, катящегося без скольжения по прямой линии. Если Р лежит на окружности круга (r = а), получают обыкновенную циклоиду (см. рис. «Трансцендентные кривые», ╧ 4а), если она лежит внутри круга (r > а), ≈ укороченную циклоиду (см. рис. «Трансцендентные кривые», ╧ 4б), если точка вне круга (r < а), ≈ удлинённую циклоиду (см. рис. «Трансцендентные кривые», ╧ 4в). Две последние Л. называют трохоидами. Уравнение в параметрической форме: , . Среди трансцендентных Л. особый класс составляют спирали (от греч. spéira, буквально ≈ витое), плоские кривые линии, бесчисленное множество раз обходящие некоторую точку, с каждым обходом приближаясь к ней или с каждым обходом удаляясь от неё. Если выбрать эту точку за полюс системы координат, то полярное уравнение спирали r = f(j) таково, что f(j + 2p) > f(j) или f(j + 2p) < f(j) при всех j. Из спиралей наиболее известны: Архимедова спираль (см. рис. «Трансцендентные кривые», ╧ 5), кривая, описываемая точкой, равномерно движущейся по прямой в то время, как эта прямая равномерно вращается в плоскости вокруг точки О. уравнение в полярных координатах: r = aj, где а ≈ постоянная. Эта спираль изучалась Архимедом (3 в. до н. э.) в связи с задачами трисекции угла и квадратуры круга. Гиперболическая спираль (см. рис. «Трансцендентные кривые», ╧ 6), кривая, описываемая точкой М, движущейся по вращающейся прямой OA, так, что её расстояние от центра вращения меняется обратно пропорционально углу поворота. Уравнение в полярных координатах: r = а/j. Жезл (см. рис. «Трансцендентные кривые», ╧ 7), кривая, уравнение которой в полярных координатах: . Каждому значению j соответствуют два значения r ≈ положительное и отрицательное. Кривая состоит из двух ветвей, каждая из которых асимптотически приближается к полюсу. Логарифмическая спираль (см. рис. «Трансцендентные кривые», ╧ 8), кривая, уравнение которой в полярных координатах: r = аекj. Была известна многим математикам 17 в. Спираль Корню (см. рис. «Трансцендентные кривые», ╧ 9), клотоида, кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. уравнение в параметрической форме: , y = a. Использовалась французским физиком М. А. Корню (1874) для графич. решения некоторых задач дифракции света. Si-ci-спираль (см. рис. «Трансцендентные кривые», ╧ 10), кривая, параметрическое уравнение которой имеет вид , , si(t) и ci(t) ≈ интегральный синус и интегральный косинус . К циклоиде по способу построения примыкает класс циклоидальных кривых, которые могут быть как алгебраическими, так и трансцендентными. Среди них: Гипоциклоида (см. рис. «Циклоидальные кривые», ╧ 1а, 1б), кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по другой окружности внутри её. Уравнение в параметрической форме: , , где А ≈ радиус неподвижной, а а ≈ подвижной окружности. Вид кривой зависит от отношения А/а. Эпициклоида (см. рис. «Циклоидальные кривые», ╧ 2а, 2б), кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по другой окружности вне её. Уравнение получится из уравнения гипоциклоиды заменой а на ≈ а. Удлинённая гипоциклоида (эпициклоида), кривая, описываемая точкой, лежащей вне окружности, которая катится без скольжения по другой окружности внутри (вне) её (см. рис. «Циклоидальные кривые», ╧ 3а, 4д). Аналогично определяется укороченная гипоциклоида (эпициклоида) (см. рис. «Циклоидальные кривые», ╧ 3б, 4б). Удлинённые и укороченные гипоциклоиды и эпициклоиды иногда называются гипо- и эпитрохоидами. В. И. Битюцков, Ю. А. Горьков, А. Б. Иванов. ══Лит.: Маркушевич А. И., Замечательные кривые, 2 изд., М. ≈ Л., 1952; Савелов А. А., Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство), М., 1960; Пархоменко А. С., Что такое линия, М., 1954; Погорелов А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969; Уокер А., Алгебраические кривые, пер. с англ., М., 1952; Loria G., Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven. Theorie und Geschichte, 2 Aufl., Bd 1≈2, Lpz. ≈ B., 1910≈1