Что значит "лапласа преобразование"

преобразование, переводящее функцию f (t) действительного переменного t (0 < t < ¥), называемую «оригиналом», в функцию ═(

1. комплексного переменного р =s +it. Под Л. п. понимают также не только само преобразование, но и его результат ≈ функцию F (p). Интеграл в правой части формулы (1) называется интегралом Лапласа. Он был рассмотрен П. Лапласом в ряде работ, которые объединены в его книге «Аналитическая теория вероятностей», вышедшей в 1812. Значительно раньше (в 1737) такие интегралы применял к решению дифференциальных уравнений Л. Эйлер .

   При некоторых условиях, указанных ниже, Л. п. определяет функцию f (t) однозначно, в простейших случаях ≈ по формуле обращения:

   ═(

2. Л. п. является линейным функциональным преобразованием. Из числа основных формул Л. п. можно отметить следующие:

   n = 1, 2, ┘,

   t >0.

   Л. п. в сочетании с формулой (2) его обращения применяется к интегрированию дифференциальных уравнений. В частности, в силу свойства (1) и линейности, Л. п. решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами удовлетворяет алгебраическому уравнению 1-й степени и может быть, следовательно, легко найдено. Так, если, например, у▓▓ + у = f (t), y (0) = y▓ (0) = 0

   и Y (p) = L [y], F (p) = L [f],

   то L [y▓▓] = p2Y (p)

   и p2Y (p) + Y (p) = F (p),

   откуда

   Многочисленные задачи электротехники, гидродинамики, механики, теплопроводности эффективно решаются методами, использующими Л. п.

   Л. п. нашло особенно широкое применение в обосновании операционного исчисления , в котором обычно вместо Л. п. F (p) вводится «изображение» оригинала f (t) ≈ функция pF (p).

   Современная общая теория Л. п. строится на основе интегрирования в смысле Лебега (см. Интеграл ). Для применимости Л. п. к функции f (t) необходимо, чтобы f (t) была интегрируема в смысле Лебега на любом конечном интервале (0, t), t > 0 и интеграл (1) для неё сходился хотя бы в одной точке p0= s0 + it0. Если интеграл (1) сходится в точке р0, то он сходится во всех точках р, для которых Re (р≈р0) > 0. Т. о., если интеграл (1) сходится хотя бы в одной точке плоскости p0, то либо он сходится во всей плоскости, либо существует такое число sс, что при Re p > sc интеграл (1) сходится, а при Re р < sс расходится. Число sс называется абсциссой сходимости интеграла Лапласа. F (p) ≈ аналитическая функция в полуплоскости Re р > sс.

   Лит.: Диткин В. А. и Кузнецов П. И., Справочник по операционному исчислению. Основы теории и таблицы формул, М. ≈ Л., 1951; Диткин В. А. и Прудников А. П., Интегральные преобразования и операционное исчисление, М., 1961; Дёч Г., Руководство к практическому применению преобразования Лапласа, пер. с нем., М., 1965.