Энциклопедический словарь, 1998 г.
интеграл от функции, заданной вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Его можно свести к определенному интегралу, а при некоторых дополнительных условиях - к двойному интегралу (Грина формула) или поверхностному интегралу (Стокса формула).
Большая Советская Энциклопедия
интеграл, взятый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Различают К. и. 1-го и 2-го типов. К. и. 1-го типа возникает, например, при рассмотрении задачи о вычислении массы кривой переменной плотности; он обозначается через
,
где С ≈ заданная кривая, ds ≈ дифференциал её дуги, a f (P) ≈ функция точки на кривой, и представляет собой предел соответствующих интегральных сумм (см. Интеграл ). В случае плоской кривой С, заданной уравнением у = у (х), К. и. 1-го типа сводится к обыкновенному интегралу по формуле:
.
К. и. 2-го типа возникает, например, при рассмотрении задачи о работе силового поля; в случае плоской кривой С он имеет вид:
и является также пределом соответствующих интегральных сумм. К. и. 2-го типа сводится к обыкновенному интегралу по формуле:
,
где х = x (t), у = у (t) (a £ t £ b) ≈ уравнения кривой С в параметрической форме, и к К. и. 1-го типа по формуле:
;
здесь a ≈ угол между осью Ox и касательной к кривой, направленной в сторону возрастания дуги.
Аналогично определяется К. и. 2-го типа в пространстве. О К. и. 2-го типа с векторной точки зрения см. Векторное исчисление .
Пусть D ≈ некоторая область и С ≈ её граница. При некоторых условиях между К. и. по кривой С и двойным интегралом по области D (см. Кратный интеграл ) имеет место соотношение:
(см. Грина формулы ), а между К. и. и поверхностным интегралом ≈ соотношение:
(см. Стокса формула ).
Особенно большое значение К. и. приобрели в теории функций комплексного переменного (см. Аналитические функции ). К. и. имеют широкое применение в различных областях механики, физики и техники.
Лит.: см. при статьях Интегральное исчисление , Интеграл .