Что значит "конечных разностей исчисление"

раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления и интегрального исчисления, где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся.

раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления и интегрального исчисления , где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся. Конечными разностями «вперёд» для последовательности значений y1= f (x

1. , y2 = f (x

2. ,..., yk = f (xk),... функции f (x), соответствующих последовательности значений аргумента x0,..., xk,,... (xk = х0 + kh, h ≈ постоянное, k ≈ целое), называют выражения:

   Dyk º Df (xk) = f (xk+1) - f (xk)

   (разности 1-го порядка),

   D2yk º D2f (xk) = Df (xk+1)- Df (xk) = f (xk+2)-2f (xk+1) + f (xk)

   (разности 2-го порядка),

   Dnyk º Dnf (xk) = Dn-1f (xk+1) - Dn-1f (xk)

   (разности n-го порядка).

   Соответственно, конечные разности «назад» Dnyк определяются равенствами

   Dnyк = Dnyк+ n.

   При интерполяции часто пользуются т. н. центральными разностями dny, которые вычисляются при нечётном n в точках х = xi+1l2h, а при чётном n в точках х = xi по формулам

   df (xi + 1/2h) º dyi+1/2 = f (xi+1) - f (xi),

   d2f (xi) º d2yi = dyi+1/2,

   d2m-1f (xi + 1/2h) º d2т≈1yi+1/2 = d2т≈2yi+1-d2т≈2yi,

   d2mf (xi) º d2туi = d2т≈1yi+1/2 - d2т≈1yi-1/2

   Они дополняются средними арифметическими

   ,

   ,

   где m = 1,2,...; если m = 0, то полагают

   .

   Центральные разности dny связаны с конечными разностями Dny соотношениями

   d2туi = D2туi-m,

   d2т+1yi+1/2 = ═D2m+1yi-m

   Если значения аргумента не составляют арифметической прогрессии, т. е. xk+1 - xk не есть тождественно постоянная, то вместо конечных разностей пользуются разделёнными разностями, последовательно определяемыми по формулам

   ┘┘┘┘┘┘┘┘┘┘..┘┘┘┘┘┘┘┘

   .

   Связь между конечными разностями и производными устанавливается формулой Dnyk = f (n)(), где xk££xk+n. Существует полная аналогия между ролью конечных разностей в теории функций дискретного аргумента и ролью производных в теории функций непрерывного аргумента; конечные разности являются удобным аппаратом при построении ряда разделов численного анализа: интерполирование функций, численное дифференцирование и интегрирование, численные методы решения дифференциальных уравнений.

   Например, для приближённого решения дифференциального уравнения (обыкновенного или с частными производными) часто заменяют входящие в него производные соответствующими разностями, деленными на степени разностей аргументов, и решают полученное таким способом разностное уравнение (одномерное или многомерное).

   Важный раздел К. р. и. посвящен решению разностных уравнений вида

   F [x,(f (x),...,Dnf (x)] = 0═════════(1)

   задаче, во многом сходной с решением дифференциальных уравнений n-го порядка. Обычно уравнение (1) записывают в виде

   Ф [х, f (x), f (x1),..., f (xn)] = 0,

   выражая разности через соответствующие значения функции. Особенно простой случай представляет линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

   f (x+n) + a1f (x+n-1) +... + anf (x) = 0,

   где a1,..., an ≈ постоянные числа. Чтобы решить такое уравнение, находят корни l1, l2,... ln его характеристического уравнения

   ln + a1ln-1+...+an = 0.

   Тогда общее решение данного уравнения представится в виде

   f (x) = С1l1х + C2l2x +... + Cnlnx,

   где C1, C2,..., Cn ≈ произвольные постоянные (здесь предполагается, что среди чисел l1, l2,..., lnнет равных).

   Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1≈2, М., 1966; Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, 3 изд., М., 1967.

   Под редакцией Н. С. Бахвалова.